(Kriging_NSGA2)克里金模型结合多目标遗传算法求最优因变量及对应的最佳自变量组合研究（Matlab代码实现）

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💥第一部分——内容介绍

克里金模型结合多目标遗传算法求最优因变量及对应的最佳自变量组合研究

摘要：本文聚焦于克里金模型与多目标遗传算法（以NSGA - II为例）的结合，旨在探索一种高效求解最优因变量及其对应最佳自变量组合的方法。通过阐述克里金模型在空间相关性建模和预测方面的优势，以及NSGA - II算法在多目标优化问题中寻找帕累托前沿的卓越性能，详细介绍两者结合的具体流程。通过实例分析验证该方法的可行性和有效性，为相关领域的优化问题提供一种新的解决思路。
关键词：克里金模型；多目标遗传算法；NSGA - II；最优因变量；最佳自变量组合

一、引言

在众多科学研究和工程应用领域，常常面临多目标优化问题，即需要同时优化多个相互冲突的目标函数。例如在工程设计领域，可能需要在提高产品质量的同时降低成本；在资源分配问题中，要兼顾资源利用效率和公平性等。传统的单目标优化方法难以直接应用于此类问题，因为改善一个目标往往会导致其他目标的恶化。因此，寻找一组在多个目标之间达到最佳平衡的解集成为关键，这些解构成了帕累托前沿。

同时，在实际问题中，许多系统的真实模型往往具有高计算成本或难以直接获取的特点。例如，在一些复杂的工程仿真中，每次运行模型可能需要耗费大量的时间和计算资源。为了降低计算成本，代理模型技术应运而生。代理模型通过利用已知的样本数据构建一个近似模型，来替代真实模型进行预测和优化。克里金模型作为一种基于空间相关性的插值方法，因其能够提供最优线性无偏估计，且对异常值和局部波动有较好的免疫性，在代理模型领域得到了广泛应用。

多目标遗传算法，如NSGA - II，是一种基于自然选择和遗传学原理的启发式搜索算法，能够在多目标优化问题的解空间中高效地搜索帕累托前沿。将克里金模型与NSGA - II算法相结合，可以充分发挥两者的优势，在降低计算成本的同时，找到一组高质量的帕累托最优解，进而确定最优因变量及其对应的最佳自变量组合。

二、相关理论基础

2.1 克里金模型原理

克里金模型是一种基于空间统计学的插值方法，其核心思想是利用空间数据的自相关性（空间依赖关系），结合统计学理论，提供最优线性无偏估计（Best Linear Unbiased Predictor，BLUP）。该模型假设系统的响应值与自变量之间的真实关系可表示为：

克里金模型通过对已有数据的空间相关性进行建模，能够较准确地估计未观测点的数值。它不仅仅依赖于周围点的数值，还考虑了点之间的空间相关性，因此对异常值和局部波动有较好的免疫性，能够提供相对稳定的估计结果。此外，克里金模型不仅能够给出点估计值，还能给出估计的不确定性，通过计算协方差函数，可以得到预测值的方差和置信区间。

2.2 NSGA - II算法原理

NSGA - II是一种多目标优化遗传算法，旨在寻找一组非支配解，并形成帕累托前沿。该算法主要包括以下几个关键步骤：

2.2.1 非支配排序

非支配排序是NSGA - II算法中用于区分解的多目标优化过程的核心机制。它基于非支配关系将种群分为不同的等级或层级。解的非支配性是指在多目标优化问题中，不存在另一个解在所有目标上都优于当前解的情况。非支配排序通过层级化的方式，将种群中的解分为不同的支配等级，使得在同一个等级中的解相互间不存在支配关系，而每个等级中的解都支配着下一个等级中的所有解。具体流程为：首先将整个种群作为第一个非支配层；然后计算支配关系，比较种群中每两个解，确定哪些解被其他解支配；接着构建等级结构，从当前种群中筛选出所有非支配解，并将其作为第一层，接着从剩余的解中筛选出次一层，以此类推，直到所有的解都被排序，将当前层的解从种群中移除，重复上述步骤直到所有解都被排序。

2.2.2 拥挤距离计算

拥挤距离是一种衡量解在目标空间中分布密集程度的指标，用于在NSGA - II算法中保持种群多样性，避免解群过分聚集，防止算法陷入局部最优。对于解集中的任意个体 i，其在第 j 个目标上的拥挤距离 Cij​ 可以表示为：

2.2.3 遗传操作

NSGA - II算法使用选择、交叉和变异等遗传操作来生成新的解。选择操作通常采用二元锦标赛选择父代，根据非支配排序和拥挤距离选择优秀的个体进行繁殖；交叉操作通过将两个父代解的信息进行组合，生成新的解，常见的交叉策略有模拟二进制交叉（SBX）等；变异操作通过改变解中的一个或多个基因值，引入一定的随机性，以增加搜索空间，常见的变异策略有多项式变异等。

2.2.4 精英保留策略

精英保留策略是NSGA - II算法的关键，旨在保留上一代种群中优秀的个体，防止在选择过程中优秀的解被丢失。它保证了解的遗传，优秀个体能够直接遗传到下一代。在进行选择前，首先将上一代种群中的非支配层个体复制到下一代种群中，然后进行选择、交叉和变异操作，生成新的种群，选择操作确保除了来自父代种群的精英外，其余个体通过选择机制填补到新的种群中。将非支配排序与精英保留策略结合使用，可以在确保算法收敛速度的同时，保持解的多样性。

三、克里金模型与NSGA - II算法结合流程

3.1 数据收集与预处理

收集与问题相关的样本数据，包括自变量和对应的因变量。对输入的自变量和输出的因变量进行归一化处理，消除量纲差异，以提高克里金模型的建模精度。例如，对于输入矩阵 X 和输出矩阵 Y，归一化公式为：

3.2 克里金模型构建

为每个目标函数单独训练克里金模型。以高斯核函数为例，协方差函数选用高斯核：

其中，参数 θk​ 控制变量敏感性，通过最大似然估计进行优化。使用训练好的克里金模型对未知点的目标函数值进行预测，替代真实模型进行后续的优化计算，从而降低计算成本。

3.3 NSGA - II算法优化

3.3.1 初始化种群

根据自变量的取值范围，采用拉丁超立方采样（LHS）等方法生成初始种群，确保空间均匀性。初始种群中的每个个体代表一组自变量组合。

3.3.2 适应度评估

调用训练好的克里金模型预测每个个体对应的多目标函数值，作为个体的适应度值。例如，对于一个个体 x，其适应度值 y 可以通过以下方式计算：

1function costs = evaluate(x, krig_models)
2    costs = zeros(1, m); % m为目标函数个数
3    for j = 1:m
4        [y, ~] = predictor(x, krig_models{j});
5        costs(j) = y;
6    end
7end

3.3.3 非支配排序与拥挤度计算

对种群中的个体进行非支配排序，将它们分为不同的等级。同时，计算每个个体的拥挤距离，以衡量其在目标空间中的分布密度。

3.3.4 选择、交叉和变异操作

根据非支配排序和拥挤距离，采用二元锦标赛选择父代个体。对选择的父代个体进行模拟二进制交叉和多项式变异操作，生成新的子代个体。交叉和变异的参数可以根据问题的特点进行调整，例如交叉分布指数 ηc​=20，变异概率 pm​=1/d（d 为自变量维度），变异分布指数 ηm​=20。

3.3.5 更新种群

将父代个体和新生成的子代个体合并，形成新的种群。根据非支配排序和拥挤距离，从新的种群中选择优秀个体组成下一代种群，保持种群规模不变。

3.3.6 终止条件判断

3.4 最优解筛选

从帕累托解集中筛选出最优因变量及其对应的最佳自变量组合。可以采用熵权TOPSIS方法进行决策。首先，对帕累托解集进行标准化处理，将决策矩阵转换为标准化决策矩阵。然后，计算每个目标的信息熵，并根据信息熵确定各目标的权重。接着，构建加权决策矩阵，计算理想解和负理想解。最后，计算每个解与理想解和负理想解的距离，得到贴近度，贴近度最大的解即为最优解。

四、实例分析

4.1 问题描述

以圆筒型永磁直线电机（TPMLM）的多目标优化问题为例。该问题涉及多个设计变量，如永磁体厚度、气隙长度、初级铁芯长度等，同时需要考虑多个目标性能指标，如平均推力、效率、功率因数等。由于真实模型的计算成本较高，采用克里金模型作为代理模型，结合NSGA - II算法进行多目标优化。

4.2 数据收集与预处理

在有限元分析软件中建立TPMLM的参数化高保真电磁场仿真模型，该模型能准确计算推力、效率、功率因数、推力波动等关键性能指标。定义一个涵盖电机主要尺寸、永磁体参数和绕组参数的初始变量池，采用基于方差或基于导数的全局敏感性分析方法，评估每个输入变量对各个输出性能指标的影响程度，筛选出强敏感性参数作为待优化的核心变量集。在每个变量的合理取值范围内进行采样，运行批量有限元仿真，收集样本数据。对样本数据进行归一化处理，消除量纲差异。

4.3 克里金模型构建

使用拉丁超立方抽样在设计变量空间内生成一系列样本点，并通过有限元仿真精确计算每个样本点对应的性能指标，形成高质量的“样本 - 响应”数据集。分别采用高斯核函数为每个目标性能指标（如平均推力和效率）训练克里金模型，通过最大似然估计优化模型参数。

4.4 NSGA - II算法优化

采用拉丁超立方采样生成初始种群，设置种群规模、最大迭代次数等参数。调用训练好的克里金模型预测每个个体的目标函数值，进行非支配排序和拥挤度计算。通过选择、交叉和变异操作生成新的种群，不断迭代更新，直到达到最大迭代次数，输出帕累托解集。

4.5 最优解筛选

采用熵权TOPSIS方法从帕累托解集中筛选出最优解。计算各目标的信息熵和权重，构建加权决策矩阵，计算理想解和负理想解，得到每个解的贴近度。选择贴近度最大的解作为最优解，该解对应的自变量组合即为最佳自变量组合，对应的因变量值即为最优因变量。

4.6 结果分析

将优化结果与原始设计进行对比，分析优化后在平均推力、效率等目标性能指标上的提升情况。同时，验证克里金模型与NSGA - II算法结合方法的有效性和可行性，证明该方法能够在降低计算成本的同时，找到一组高质量的帕累托最优解，为TPMLM的设计优化提供了有效的解决方案。

五、结论与展望

5.1 结论

本文研究了克里金模型与多目标遗传算法（NSGA - II）的结合方法，旨在求解最优因变量及其对应的最佳自变量组合。通过详细阐述克里金模型在空间相关性建模和预测方面的优势，以及NSGA - II算法在多目标优化问题中寻找帕累托前沿的卓越性能，介绍了两者结合的具体流程。实例分析结果表明，该方法能够有效降低计算成本，找到一组高质量的帕累托最优解，并通过熵权TOPSIS方法筛选出最优解，为相关领域的优化问题提供了一种新的解决思路。

5.2 展望

未来的研究可以进一步优化克里金模型的构建过程，例如探索更合适的相关性函数和参数优化方法，提高模型的预测精度。同时，可以对NSGA - II算法进行改进，如引入新的遗传操作策略或自适应参数调整方法，提高算法的收敛速度和搜索能力。此外，将该方法应用于更多领域的多目标优化问题，验证其通用性和有效性，也是值得进一步研究的方向。

📚第二部分——运行结果

🎉第三部分——参考文献 

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🌈第四部分——Matlab代码实现

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