AI基础数学之——掌握中学基础数学：一、代数-一次不等式组及其应用

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AI基础数学之——掌握中学基础数学：一、代数-一次不等式组及其应用

✨前言✨

本系列文章目的在于将 中学数学 以计算机语言的方式来完整的讲解表述出来，使得在这个学习过程中可以让在中学就开始接触计算机编程的学生们可以快速的将计算机与所学的内容联合在一起，实践出真知，天赋不是先天自来，而是后天无数次的练习，无数次的使用，每天都在用，没时都在用，每刻都在用才会让这个技能真正的变成自己的能力，这就是本系列文章的目的。

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C++ 环境理解与配置 (MinGW)	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145429540
C++ 的 Visual Studio Code 运行环境配置	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145429599
入门 C++ 语言：C++ 课程目录	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145429870
Python 环境配置与 Jupyter Notebook 开发工具下载使用	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145452751
入门 Python 语言：Python 基础课程目录	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145453148

中学数学——学习脑图

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本篇目标

1. 理解一次不等式组的定义与解法步骤。
2. 掌握不等式组解集的表示方法（数轴法）。
3. 学会分析含参数的不等式组问题。
4. 应用不等式组解决实际问题，并用代码实现解集判断。

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学习正文

一次不等式组是由两个或多个一元一次不等式组成的系统，其解集为所有不等式的公共解。
解法步骤：

1. 分别解每个不等式。
2. 将解集表示在数轴上，找公共部分。
3. 确定最终解集。

示例：
解不等式组：
$$\{\begin{array}{l}2x+3>7\\ x-4\le 2\end{array}$$
步骤：

1. 解第一个不等式：$2x>4\Rightarrow x>2$。
2. 解第二个不等式：$x\le 6$。
3. 公共解集为：$2<x\le 6$，即区间 $(2,6]$。

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题目示例

1. 解不等式组：$\{\begin{array}{l}3x-1\ge 5\\ 2x+4<12\end{array}$
2. 若不等式组 $\{\begin{array}{l}x+a>0\\ 2x-1\le 3\end{array}$ 的解集为 $-2<x\le 2$，求 $a$ 的值。

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解题思路

1. 独立求解：分别解每个不等式。
2. 数轴分析：通过数轴可视化解集重叠区域。
3. 参数处理：根据解集反推参数范围。

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解题技巧

• 数轴法：画数轴标出所有解集，找重叠部分。
• 边界检验：代入边界值验证解集是否包含端点。
• 参数方程：若解集已知，联立方程求参数。

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练习题

单选题（5题）

1. 不等式组 $\{\begin{array}{l}x>3\\ x\le 5\end{array}$ 的解集是？
   A. $(3,5)$ B. $[3,5]$ C. $(3,5]$

2. 若不等式组 $\{\begin{array}{l}2x+1<5\\ x\ge 0\end{array}$ 无解，则可能满足？
   A. 修改为 $x\ge 3$ B. 修改为 $x\le 3$ C. 删除第二个不等式

3. 解集为 $x\ge 4$ 的不等式组是？
   A. $\{\begin{array}{l}x>4\\ x\ge 4\end{array}$ B. $\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ x\le 4\end{array}$ C. $\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ x>3\end{array}$

4. 若 $\{\begin{array}{l}3x-k>6\\ x<2\end{array}$ 有解，则 $k$ 的范围是？
   A. $k<0$ B. $k\le 0$ C. $k>0$

5. 不等式组 $\{\begin{array}{l}x+2\le 5\\ 2x\ge 4\end{array}$ 的最小整数解是？
   A. 2 B. 3 C. 4

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多选题（3题）

1. 以下不等式组无解的是？
   A. $\{\begin{array}{l}x>1\\ x<0\end{array}$ B. $\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ x\le 3\end{array}$ C. $\{\begin{array}{l}x\le 5\\ x\ge 5\end{array}$ D. $\{\begin{array}{l}x<2\\ x>5\end{array}$

2. 关于解集 $2\le x<5$，正确的表示是？
   A. $[2,5)$ B. {x∣2≤x<5}\{x | 2 \leq x < 5\}{x∣2≤x<5} C. $x\in (2,5]$ D. $x\ge 2$ 且 $x<5$

3. 若 $\{\begin{array}{l}ax+1>0\\ x\le 2\end{array}$ 的解集非空，则 $a$ 可能为？
   A. $a=-1$ B. $a=0$ C. $a=1$ D. $a=2$

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判断题（2题）

1. 不等式组 $\{\begin{array}{l}x>1\\ x<1\end{array}$ 的解集是空集。（ √ ）
2. 若 $\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ x\le 3\end{array}$，则解集为 $x=3$。（ √ ）

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解答题（3题）

1. 解不等式组：
   $$\{\begin{array}{l}5x-3\le 12\\ 2x+7>3\end{array}$$
2. 若不等式组 $\{\begin{array}{l}2x-k\ge 1\\ x<4\end{array}$ 有解，求 $k$ 的取值范围。
3. 某商店促销活动要求顾客同时满足“消费满100元”和“使用优惠券”，若消费金额为 $x$ 元，用不等式组表示条件并求解 $x$ 的范围。

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代码题（1题）

编写程序，输入两个不等式 $ax+b>c$ 和 $dx+e\le f$ 的系数，输出解集区间（若无解或无限解需特殊说明），使用C++或Python实现。

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答案解析

单选题答案

1. C 2. A 3. B 4. A 5. A

多选题答案

1. AD 2. ABD 3. BCD

判断题答案

1. √ 2. √

解答题答案

1. 解：

   • 解第一个不等式：$5x\le 15\Rightarrow x\le 3$
   • 解第二个不等式：$2x>-4\Rightarrow x>-2$
   • 公共解集：$-2<x\le 3$，即区间 $(-2,3]$。

2. 解：

   • 解第一个不等式：$2x\ge k+1\Rightarrow x\ge \frac{k+1}{2}$
   • 解第二个不等式：$x<4$
   • 若有解，需满足 $\frac{k+1}{2}<4\Rightarrow k<7$。

3. 解：

   • 不等式组为 $\{\begin{array}{l}x\ge 100\\ x\ge 0\end{array}$（假设“使用优惠券”无金额限制）
   • 解集：$x\ge 100$，即区间 $[100,+\infty )$。

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代码题答案（Python）

a1, b1, c1 = map(float, input("输入第一个不等式系数(a b c，形式为ax+b>c): ").split())
a2, b2, c2 = map(float, input("输入第二个不等式系数(a b c，形式为ax+b<=c): ").split())

# 解第一个不等式 ax + b > c → x > (c - b)/a（若a≠0）
if a1 == 0:
    x1 = "无解" if b1 <= c1 else "全体实数"
else:
    bound1 = (c1 - b1) / a1
    x1 = f"x > {bound1:.2f}" if a1 > 0 else f"x < {bound1:.2f}"

# 解第二个不等式 ax + b <= c → x <= (c - b)/a（若a≠0）
if a2 == 0:
    x2 = "无解" if b2 > c2 else "全体实数"
else:
    bound2 = (c2 - b2) / a2
    x2 = f"x <= {bound2:.2f}" if a2 > 0 else f"x >= {bound2:.2f}"

# 输出解集
print("解集为：", x1, "且", x2)

总结

一次不等式组通过数轴法找公共解集，是解决实际约束问题的关键工具。掌握解集分析、参数讨论及编程实现，能有效提升逻辑推理与数学建模能力。