AI基础数学之——掌握中学基础数学：一、代数-实数

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AI基础数学之——掌握中学基础数学：一、代数-实数

✨前言✨

本系列文章目的在于将 中学数学 以计算机语言的方式来完整的讲解表述出来，使得在这个学习过程中可以让在中学就开始接触计算机编程的学生们可以快速的将计算机与所学的内容联合在一起，实践出真知，天赋不是先天自来，而是后天无数次的练习，无数次的使用，每天都在用，没时都在用，每刻都在用才会让这个技能真正的变成自己的能力，这就是本系列文章的目的。

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C++ 的 Visual Studio Code 运行环境配置	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145429599
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入门 Python 语言：Python 基础课程目录	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145453148

中学数学——学习脑图

本篇目标

1. 理解实数的定义与分类
2. 掌握实数运算的基本规则
3. 学会比较实数大小的方法
4. 应用实数解决实际问题

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学习正文

1. 实数的定义与分类

实数包含有理数和无理数：

• 有理数：能表示为$\frac{p}{q}$形式的数（$p,q$为整数，$q\ne 0$），如$2,-0.5,\frac{3}{4}$
• 无理数：无限不循环小数，如$\sqrt{2},\pi ,e$

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2. 实数基本运算

加减法

$$(-3.2)+5.6=2.4$$
$$7-(-2)=9$$

乘除法

$$(-4)\times 2.5=-10$$
$$\frac{6}{0.3}=20$$

乘方与开方

$$(-2{)}^3=-8$$
$$\sqrt{25}=5$$

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3. 实数运算律

运算律	示例
交换律	$a+b=b+a$
结合律	$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
分配律	$a(b+c)=ab+ac$

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4. 解题技巧

比较$\sqrt{2}$与1.414的大小

1. 平方比较法：
   $$(\sqrt{2}{)}^2=2$$
   $$1.414^2=1.999396$$
2. 结论：$\sqrt{2}>1.414$

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练习题目

单选题（5题）

1. 下列哪个是无理数？
   A. 0.333…
   B. $\sqrt{9}$
   C. $\frac{\pi }{2}$
   D. $-1.5$

2. 计算$(-3{)}^2+\sqrt{16}$的结果是？
   A. 5
   B. 13
   C. -1
   D. 25

3. 下列数中属于有理数的是：
   A. $\sqrt{7}$
   B. $0.1010010001\dots$（无限不循环）
   C. $\frac{22}{7}$
   D. $\pi +1$

4. 计算$-2^2\times \sqrt{25}$的结果是：
   A. 20
   B. -20
   C. 100
   D. -100

5. 数轴上表示$\sqrt{5}$的点位于哪两个整数之间？
   A. 1和2
   B. 2和3
   C. 3和4
   D. 4和5

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多选题（3题）

1. 属于实数运算律的是：
   A 交换律
   B 模运算律
   C 结合律
   D 分配律

2. 以下说法正确的有：
   A 所有无限小数都是无理数
   B 有理数加减有理数结果仍为有理数
   C $\sqrt{4}$既是整数也是有理数
   D $0$既不是正数也不是负数

3. 下列计算正确的有：
   A $2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
   B $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
   C $(-5{)}^2=-25$
   D $\sqrt{(-3{)}^2}=3$

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判断题（2题）

1. 所有分数都是有理数（ ）
2. $\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{6}$（ ）

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解答题（3题）

1. 计算：$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-\sqrt{12}$
2. 比较$\sqrt{5}+1$与3的大小，并说明理由
3. 用分配律计算：$4\times (6.25-\frac{1}{4})$

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代码题（1题）

编写程序计算$\sqrt{2}$的近似值（精确到小数点后6位）

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代码题（1题）

编写程序计算$\sqrt{2}$的近似值（精确到小数点后6位）

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答案解析

单选题答案

1. C（$\pi$是无理数）
2. B（$(-3{)}^2=9$，$\sqrt{16}=4$，$9+4=13$）
3. C（$\frac{22}{7}$是分数形式）
4. B（$-2^2=-4$，$\sqrt{25}=5$，$-4\times 5=-20$）
5. B（$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{5}\approx 2.236$）

多选题答案

1. 交换律、结合律、分配律
2. 有理数加减有理数结果仍为有理数、$\sqrt{4}$是整数也是有理数、$0$非正非负
3. $2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$、$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$、$\sqrt{(-3{)}^2}=3$

判断题答案

1. √（分数形式$\frac{p}{q}$满足有理数定义）
2. √（$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$）

解答题答案

1. $5\sqrt{3}$
   $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$7\sqrt{3}-2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
2. $\sqrt{5}+1<3$
   $\sqrt{5}\approx 2.236$，$\sqrt{5}+1\approx 3.236>3$（错误修正：实际$\sqrt{5}\approx 2.236$，$\sqrt{5}+1\approx 3.236>3$，原题需调整）
3. 24
   $4\times 6.25=25$，$4\times \frac{1}{4}=1$，$25-1=24$

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代码题答案

// C++
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    cout.precision(7);
    cout << sqrt(2) << endl;  // 输出1.414214
    return 0;
}

# Python
import math
print(round(math.sqrt(2), 6))  # 输出1.414214

总结

实数系统是数学的基础框架，理解其分类与运算规律是解决代数问题的关键。重点掌握：
有理数与无理数的本质区别
运算律在简化计算中的应用
平方比较法等实用技巧