解线性方程组——Cholesky分解 | 北太天元 or Matlab

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#线性代数 #矩阵

于 2024-04-14 23:57:43 首次发布

本文介绍了如何处理对称正定矩阵的Cholesky分解，包括分解过程、算法实现（Matlab函数），并提供了数值算例演示，以及非对称正定矩阵分解的错误示例，强调了该方法只适用于对称正定矩阵。

一、问题描述

对于线性方程组
$Ax=b,A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann),b=(b1b2⋮bn)Ax=b,\quad A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\ \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}$

A为对称正定矩阵，求向量 $x$

二、对称正定矩阵的Cholesky分解

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}\\ \end{pmatrix}=\begin{bmatrix}l_{11}&&&\\l_{21}&l_{22}&&\\\vdots&\vdots&\ddots&\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&l_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}l_{11}&l_{21}&\cdots&l_{n1}\\&l_{22}&\cdots&l_{n2}\\&&\ddots&\vdots\\&&&l_{nn}\end{bmatrix}.$