hdu 1098 Ignatius's puzzle （公式+费马小定理）-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/LJD201724114126/article/details/88090687

本文探讨了对于函数f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x，在给定k的情况下，如何寻找最小正整数a，使65能整除f(x)。通过分析x对65的不同模情况，提出了解法一和解法二，为数学竞赛和算法设计提供了一种新的思考路径。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：哆啦A梦传送门

题意：对于f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x，给定k，求最小的正整数a满足65|f(x)。

题解：参考博客：https://blog.youkuaiyun.com/ACdreamers/article/details/8572959

解法一：

f(x)=x*(5*x^12+13*x^4+k*a)。

假设1：x为65的倍数，显然此时f(x)满足条件。

假设2：x为13的倍数，要使f(x)满足条件，5*x^12+13*x^4+k*a为5的倍数，即 13*x^4+k*a 为5的倍数，因为 gcd(5,13)=1,由费马小定理可得 ${\color{Blue} x^{4}\equiv 1 mod 5}$ ，所以 ${\color{Blue} 13*x^4 \equiv 3 mod 5}$ ，故 k*a 必须模5余2 （ ${\color{Blue} k*a\equiv 2(mod 5)}$ )。

假设3：x为5的倍数，同理得 k*a 必须模13余8 （ ${\color{Blue} k*a\equiv 8(mod 13)}$ ）。

假设4：x既不是5的倍数，也不是13的倍数，要使f(x)满足条件，5*x^12+13*x^4+k*a就要为65的倍数。即要使得

${\color{Blue} k*a\equiv 2(mod 5)}$ && ${\color{Blue} k*a\equiv 8(mod 13)}$

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

int main()
{

    int k;

    while(~scanf("%d",&k))
    {
        bool flag=true;
        for(int i=1;i<=65;i++)
        {
            if((i*k)%13==8&&(i*k)%5==2){
                printf("%d\n",i);
                flag=false;
                break;
            }
        }
        if(flag) puts("no");
    }
    return 0;
}

解法二：

因为任意一个x值都要满足 65|f(x)，故我们就直接令x=1，

得 18+k*a为65的倍数，即 18+k*a=65*b，由不定方程 a*x+b*y=c有解的充要条件为 c%gcd(a,b)==0。

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

int main()
{

    int k;

    while(~scanf("%d",&k))
    {
        if(18%gcd(k,65)) {
            puts("no");continue;
        }

        for(int a=1;a<=65;a++)
        {
            if((18+k*a)%65==0){
                printf("%d\n",a);
            }
        }
    }
    return 0;
}