POJ 1050 DP

本文探讨了如何高效计算矩阵内的子矩阵和,通过优化算法实现了复杂矩阵操作的简化。

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队友很好的想法

lin[i][j][k]表示第i行第j列到第k列的和

sum[i][j][k]表示矩阵[(1,j),(i,k)]的最大矩阵和

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn =101;
const int INF =1<<30;

int line[101][101][101];
int sum[101][101][101];

int N, i, j, k, a, ans;

int main()
{
    while (~scanf("%d", &N))
    {
          memset(sum, 0, sizeof(sum));
          memset(line, 0, sizeof(line));
          
          for ( i =1; i <= N; i++)
          {
              scanf("%d", &line[i][1][1]);
              for ( j =2; j <= N; j++)
              {
                  scanf("%d", &a);
                  for ( k =1; k <= j; k++)
                    line[i][k][j] = line[i][k][j-1]+a;
              }
          }
          ans = -INF;
          for ( i =1; i <= N; i++)
            for ( j =1; j <= N; j++)
              for ( k =j; k <= N; k++)
              {
                  sum[i][j][k] = max(sum[i-1][j][k]+line[i][j][k], line[i][j][k]);
                  if (ans<sum[i][j][k])
                      ans = sum[i][j][k];
              }
          printf("%d\n", ans);
    }return 0;
}



### 关于拔河问题的动态规划实现 拔河问题是经典的 **0/1 背包变种问题**,其核心目标是将一群人分成两队,使得每队的人数最多相差 1,并且两队的体重总和尽可能接近。此问题可以通过动态规划 (Dynamic Programming, DP) 来解决。 #### 动态规划的核心思路 该问题可以转化为一个子集划分问题:给定一组重量 \( w_1, w_2, \ldots, w_n \),找到两个子集 \( A \) 和 \( B \),满足以下条件: 1. 子集 \( A \) 的权重之和与子集 \( B \) 尽可能接近。 2. 如果总人数为奇数,则其中一个子集多一个人;如果总人数为偶数,则两者人数相等。 通过定义状态转移方程来解决问题。设 \( S \) 是所有人重量的总和,\( half = S / 2 \) 表示一半的重量。我们尝试寻找不超过 \( half \) 的最大子集重量 \( sum_A \),从而另一部分的重量自然就是 \( sum_B = S - sum_A \)[^1]。 #### 实现细节 以下是基于动态规划的具体算法描述: 1. 定义数组 `dp`,其中 `dp[i]` 表示是否存在一种组合方式使其重量恰好等于 \( i \)。 2. 初始化 `dp[0] = true`,表示重量为零的情况总是可行。 3. 遍历每个人的重量 \( w_i \),更新 `dp` 数组的状态。 4. 找到最大的 \( j \leq half \) 并使 `dp[j] == true` 成立,此时 \( j \) 即为一侧的最大重量 \( sum_A \)。 下面是具体的代码实现: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { int n; while(cin >> n && n != 0){ vector<int> weights(n); int total_weight = 0; for(int &w : weights){ cin >> w; total_weight += w; } int half = total_weight / 2; vector<bool> dp(half + 1, false); // dp[i] means whether weight 'i' is achievable. dp[0] = true; for(auto w : weights){ for(int j = half; j >= w; --j){ if(dp[j - w]){ dp[j] = true; } } } // Find the largest possible value less than or equal to half int closest_sum = 0; for(int j = half; j >= 0; --j){ if(dp[j]){ closest_sum = j; break; } } cout << min(closest_sum, total_weight - closest_sum) << " " << max(closest_sum, total_weight - closest_sum) << endl; } } ``` 上述程序实现了如何利用动态规划求解拔河问题中的最优分配方案[^2]。 #### 常见错误分析 对于 POJ 和 UVa 上的不同表现,可能是由于输入处理上的差异所致。UVa 版本通常涉及多组测试数据,而 POJ 可能仅限单组输入。因此,在提交至 UVa 时需注意循环读取直到文件结束标志 EOF 出现为止[^3]。 另外需要注意的是边界情况以及整型溢出等问题,确保所有变量范围适当设置以容纳可能出现的最大数值。
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