长度不超过k的最大连续子序列(单调队列)

本文介绍了一种利用单调队列解决寻找长度不超过k的最大连续子序列问题的方法。通过队列保持元素的单调性,高效地找到最优解。
/*单调队列:单调队列即保持队列中的元素单调递增(或递减)的这样一个队列,可以从两头删除,只能从队尾插入.
队首为最优解,插入时从队尾插入。为了保证队列的单调性,我们从队尾开始删除元素,直到队尾元素比当前需要插入的元素优
因为它们已经不可能成为最优的元素了,因为当前要插入的元素位置比它们更优,值比它们更优*/
//长度不超过k的最大连续子序列

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=100007;
int sum[MAXN];
int queue[MAXN];

int main()
{
	int T,id=0;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int n,k,i,j,ans;
		scanf("%d%d",&n,&k);
		scanf("%d",sum+1);
		ans = sum[1] ;
		int fre=0,rea=0;
		queue[rea++] = 1;
		for(i=2;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",sum+i);
			while(i-queue[fre] >= k)
			{
				fre ++;
			}
			for(j=fre;j<rea;j++)
			{
				sum[ queue[j] ] += sum[i];
			}
			while(rea>fre && sum[ queue[rea-1] ] <= sum[i])
			{
				rea --;
			}
			queue[rea++] = i;
			ans = max(ans , sum[ queue[fre] ]);
		}
		printf("Case #%d: %d\n",++id,ans);
	}
	return 0;
}

### 使用单调队列求解最大连续和问题 对于给定数组 `nums` 和窗口大小 `k` 的情况下,使用单调队列来解决最大连续和问题是有效的。这种方法仅能够保持线性时间复杂度 O(n),还能高效处理数据流中的实时更新。 #### 算法解释 为了计算以每个位置结尾的最大数组和,在长度超过 `k` 的条件下,定义状态转移方程: \[f[i] = \max(f[j], 0) + nums[i]\quad(i - k \leq j < i)\] 这里的关键在于如何快速找到满足条件的最优 \(j\) 值。通过构建一个存储下标的双端队列(即单调队列),使得队首总是指向当前有效区间内具有最高累积和的位置。每当遍历到新元素时,移除那些再属于当前窗口范围内的索引,并清理掉任何可能成为未来最佳候选者的较小值[^2]。 #### Python代码示例 下面是一个具体的Python实现例,展示了如何利用单调队列来解决问题: ```python from collections import deque def maxSubarraySumWithinK(nums, k): # 初始化变量 result = float('-inf') sum_queue = deque() for i in range(len(nums)): # 移除在窗口内的元素 while sum_queue and sum_queue[0][1] <= i - k: sum_queue.popleft() prev_sum = 0 if not sum_queue else sum_queue[-1][0] current_sum = max(0, prev_sum) + nums[i] result = max(result, current_sum) # 清理队列中小于等于current_sum的项 while sum_queue and sum_queue[-1][0] <= current_sum: sum_queue.pop() sum_queue.append((current_sum, i)) return result ``` 此函数接收两个参数:一个是整型列表 `nums` ,代表输入的数据序列;另一个是正整数 `k` ,表示允许的最大连续数组长度。返回的结果是最优解——即在指定约束下的最大连续和。
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