卡特兰数在栈应用中的枚举与求解-优快云博客

本文深入探讨了卡特兰数在解决特定栈问题时的应用，通过枚举斜线上下的个数，利用组合数学中的组合数和卡特兰数公式，有效地计算序列的个数，并在代码实现上优化时间复杂度。

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对卡特兰数的了解不要仅仅局限在它的公式上，还要去了解它的各种应用。其中有一个栈的应用：就是说给一个1-n的数列，求其入栈出栈后序列的个数。上图中，如果我们把横线去掉，就是斜线往上往下。我们把斜线往上看做入栈，往下看做出栈，就和卡特兰数栈的应用一样。而其余横线我们可以随便插入，就是一个组合数。想到这里，我们就可以枚举斜线上下的个数（斜线上下个数相同），累加起来便是答案。

F[n] = ∑T(k) + ∑C(k)*Con(2*k, n), 其中0<=2 * k<=n, C(k)是卡特兰数，Con(m, m)是组合数。但是n为100000，直接求Con(m, n)也求不出。所以我们化简T(k)/T(k-1)，得：T(k) = T(k - 1) * (k - )

这样可以再O(n)的时间内求出F[n]，最后模10的100次方，便是答案。

import java.io.*;
import java.math.*;
import java.util.Scanner;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		int n;
		BigInteger M = BigInteger.TEN.pow(100);
		while(cin.hasNext()){
			n = cin.nextInt();
			BigInteger ans = BigInteger.ONE, v = BigInteger.ONE;
			for(int i = 1; i * 2 <= n; i++){
				v = v.multiply(BigInteger.valueOf(n - 2 * i + 1)).multiply(BigInteger.valueOf(n - 2 * i + 2)).divide(BigInteger.valueOf(i)).divide(BigInteger.valueOf(i + 1));
				ans = ans.add(v);
			}
			System.out.println(ans.mod(M));
		}
	}

}