20250302 总结

20250302 总结

A

简化题意：对一个长度为 $n$ 的序列 $a$ 支持区间加与查询区间 gcd 操作。

思路：首先老师给了个结论，对于 $a$ 的一个子序列 $a_l\sim a_r$，有：

$$\gcd (a_l,a_{l+1},\cdots ,a_r)=\gcd (a_l,a_{l+1}-a_l,a_{l+2}-a_{l+1},\cdots ,a_r-a_{r-1})$$

我们把后式进行如下拆分：

$$\gcd (a_l,a_{l+1}-a_l,a_{l+2}-a_{l+1},\cdots ,a_r-a_{r-1})=\gcd (a_l,\gcd (a_{l+1}-a_l,a_{l+2}-a_{l+1},\cdots ,a_r-a_{r-1}))$$

发现 $\gcd (a_l,a_{l+1}-a_l,a_{l+2}-a_{l+1},\cdots ,a_r-a_{r-1})$ 只和 $a$ 的差分序列有关。设 $b$ 为 $a$ 的差分序列，即 $b_i=a_i-a_{i-1}$(默认 $a_0$ 为 $0$)，则每次对 $a_l\sim a_r$ 加 $d$ 的操作，只会影响 $b_l$ 和 $b_{r+1}$ 的值，即 $b_l\leftarrow b_l+d,b_{r+1}\leftarrow b_{r+1}-d$，查询时即求 $\gcd (b_{l+1},b_{l+2},\cdots ,b_r)$。这一部分可用线段树维护，复杂度 $\mathrm{O}(n{\log }_{2}n)$。

剩下的 $a_l$ 怎么求？显然 $\sum _{i=1}^l{b}_i=\sum _{i=1}^l{a}_i-a_{i-1}=a_l$。我与上一部分分开用树状数组维护的，时间复杂度亦为 $\mathrm{O}(n{\log }_{2}n)$。

细节及难点：没什么难点，注意我们对于修改 $a_l\sim a_r$ 的操作实际修改了 $b_l,b_{r+1}$，如果没判 $r+1\le n$ 的话建树时需要建到 $n+1$。

B

简化题意：

思路：

细节及难点：

核心代码：

C

简化题意：

思路：

细节及难点：

D

简化题意：

思路：

细节及难点：

E

简化题意：

思路：

细节及难点：

F

简化题意：

思路：

细节及难点：

G

简化题意：

思路：

细节及难点：