欧几里德算法（辗转相除法）

最新推荐文章于 2024-04-07 18:05:06 发布

杉影

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分类专栏：算法的数学原理文章标签：算法

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欧几里德算法，又称辗转相除法，用于计算两个正整数的最大公约数。算法通过不断进行除法和取余，直至余数为0，此时的除数即为最大公约数。例如，gcd(50, 15) = 5。其时间复杂度为O(logN)，通过每次迭代将余数减半，最多经过2log2a1次操作就能找到结果。" 123930172,9727201,HashMap遍历源码深度解析,"['Java', '数据结构', 'HashMap']

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欧几里德算法（辗转相除法）

简介

欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法，算法将除数和余数反复做除法运算，当余数为0时，当前算式的除数为最大公约数。

例子

求50和15的最大公约数 gcd(50,15)
$50\div15=3（余5） \tag 1$
以(1)的除数作为新的被除数，以(1)的余数作为新的除数
$15\div5=3（余0） \tag 2$
在(2)中，余数为0，所以gcd(50,15)=5

分析

求gcd(a, b)（方便起见，假设a>b）
$\tag 3$

$\therefore r=a-kb(即r=a\ mod\ b) \tag 4$

令d为(a, b)的一个公约数，即
$\left\{\begin{aligned} a\ mod\ d=0 \\ b\ mod\ d=0 \end{aligned}\right. \tag 5$
对(4)左右同除以d可得
$r\div d=a\div d-(b\div d)k \tag 6$
参考(5)可知 $b÷d与a\div d\ 与\ b\div d$ 的结果都为整数（余数为0），且k为整数，所以 $r÷dr\div d$ 的结果为整数，即
$r\ mod\ d=0 \tag 7$
所以d不仅是(a, b)的公约数，也是(b, r)即(b, a mod b)的公约数，(a, b)与(b, a mod b)公约数相同，那么最大公约数也相同
$令a_1=b,\ b_1=a\ mod\ b;\ a_2=a\ mod\ b,\ b_2=b\ mod\ b_1\ 以此类推 \tag 8$