二叉查找树的平均深度

二叉查找树的平均深度

设一棵树总共有N个节点，其根节点的左子树有i个节点，则根节点的右子树有N-i-1个节点

设D(N)为该树的内部路径长（即所有节点的深度之和），那么其根节点的左子树内部路径长为D(i)；其根节点的右子树内部路径长为D(N-i-1)

当左子树连接到根节点时，左子树内的每个节点的深度都将加一，同理，右子树亦是如此。所以左右子树连接到根节点时深度总共增加N-1
$$\therefore D(N)=D(i)+D(N-i-1)+N-1\text{\hspace{1em}(1)}$$
设二叉查找树的平均内部路径长为$D_{avg}(N)$，则二叉树的平均深度为$D_{avg}(N)/N$，因此问题转变为求解$D_{avg}(N)$

计算二叉查找树的平均内部路径长，即$i\in [0,N)$，i在该范围内每个取值的概率都是一样的，也就是i=0, i=1, …, i=N-1，出现概率相等，将所有可能取值的内部路径长求和计算平均值，即可得$D_{avg}(i)$
$$D_{avg}(i)=1/N\sum _{i=0}^{N-1}D(i)\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$\because N-i-1\in [0,N)\text{\hspace{1em}(3)}$$

$$\therefore D_{avg}(N-i-1)=D_{avg}(i)\text{\hspace{1em}(4)}$$

将（2）与（4）代入（1）可得
$$D_{avg}(N)=2/$$