欧几里得算法

欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，用于计算两个整数的最大公约数

定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数

证明过程转自某大佬的博客

引理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

　　证明：

　　　　设 r=a%b , c=gcd(a,b)

　　　　则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质

　　　　r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c

　　　　而b=yc

　　　　可知：y 与 x-py 互质

　　　　证明：

              　　假设 y 与 x-py 不互质

              　　设 y=nk , x-py=mk , 且 k>1 （因为互质）

             　　 将 y 带入可得

              　　x-pnk=mk

              　　x=(pn+m)k

             　　 则 a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc

              　　那么此时 a 与 b 的最大公约数为 kc 不为 k

              　　与原命题矛盾，则 y 与 x-py 互质

　　　　因为 y 与 x-py 互质，所以 r 与 b 的最大公约数为 c

　　　　即 gcd(b,r)=c=gcd(a,b)

　　　　得证

　　当a%b=0时，gcd(a,b)=b

 

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我们模拟一下辗转相除法的过程：

求两个正数8251和6105的最大公因数。
（分析：辗转相除→余数为零→得到结果）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251与6105的最大公因数也必是2146的因数，同样6105与2146的公因数也必是8251的因数，所以8251与6105的最大公因数也是6105与2146的最大公因数。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公因数。

 

整个过程就是：有两个数 a b ，其中a>b

a = b*(a/b) + a%b

然后，b变成下一个式子的a，a%b也就是上一个式子的余数变成下一个式子的b

b = (a%b)*(b/(a%b)) + (b%(a%b))

如此接龙，最后当余数为0时，最大公约数求出，是a的值

 

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算法模板：

inline int gcd(int a,int b)
{
	if(!b)
		return a;
	else
		return gcd(b,a%b);	
}