二叉树之前序遍历、中序遍历和后序遍历

0 引言

本文主要学习数据结构中的二叉树，包括常用的三种遍历方法：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

1 二叉树

1.1 定义

二叉树是一种常见的树状数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。每个节点可以存储一个值或者其他相关信息。

1.2 特点

1. 每个节点最多有两个子节点，且左子节点和右子节点的顺序是固定的。左子节点位于父节点的左侧，右子节点位于父节点的右侧。这种结构可以直观地表示许多问题，例如树形结构、有序列表等。
2. 二叉树可以为空，即没有节点。如果一个节点没有子节点，则称为叶子节点或终端节点。除了叶子节点外，每个节点都有一个父节点，除了根节点外，每个节点都有一个唯一的父节点。
3. 二叉树可以具有不同的特殊形式，例如二叉搜索树（Binary Search Tree），其中左子节点的值小于等于父节点的值，右子节点的值大于等于父节点的值。还有平衡二叉树（Balanced Binary Tree），其中左子树和右子树的高度差不超过一。
4. 二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问树中的节点。常见的遍历方式包括前序遍历（Pre-order），中序遍历（In-order），后序遍历（Post-order）。这些遍历方式可以帮助我们有效地处理二叉树中的节点。

2 前序遍历

前序遍历（Pre-order traversal）是一种二叉树遍历的方式，它按照根节点、左子树、右子树的顺序访问二叉树中的节点。

具体来说，前序遍历的步骤如下：

1. 访问当前节点（根节点）。
2. 递归地前序遍历左子树。
3. 递归地前序遍历右子树。

可以使用递归或迭代的方式实现前序遍历。

递归实现前序遍历的伪代码如下：

preorderTraversal(node):
    if node is null:
        return
    访问当前节点（输出节点的值或进行其他操作）
    preorderTraversal(node.left)  # 递归前序遍历左子树
    preorderTraversal(node.right)  # 递归前序遍历右子树

迭代实现前序遍历通常使用栈（Stack）数据结构辅助完成。算法步骤如下：

1. 创建一个空栈，并将根节点入栈。
2. 当栈不为空时，执行以下操作：
   • 弹出栈顶节点，并访问该节点（输出节点的值或进行其他操作）。
   • 将右子节点（如果存在）入栈。
   • 将左子节点（如果存在）入栈。
   • 注意：由于栈是后进先出（LIFO）的数据结构，所以先入栈右子节点，再入栈左子节点，以确保左子节点在右子节点之前被访问。

迭代实现前序遍历的伪代码如下：

preorderTraversal(node):
    if node is null:
        return
    创建一个空栈
    将根节点入栈
    while 栈不为空:
        弹出栈顶节点并访问该节点
        如果节点的右子节点不为空，将右子节点入栈
        如果节点的左子节点不为空，将左子节点入栈

无论是递归实现还是迭代实现，前序遍历会按照根节点、左子树、右子树的顺序遍历二叉树中的节点。这种遍历方式在某些问题的解决中非常有用，例如复制一棵二叉树、表达式求值等。

3 中序遍历

中序遍历（In-order traversal）是一种二叉树遍历的方式，它按照左子树、根节点、右子树的顺序访问二叉树中的节点。

具体来说，中序遍历的步骤如下：

1. 递归地中序遍历左子树。
2. 访问当前节点（根节点）。
3. 递归地中序遍历右子树。

可以使用递归或迭代的方式实现中序遍历。

递归实现中序遍历的伪代码如下：

inorderTraversal(node):
    if node is null:
        return
    inorderTraversal(node.left)  # 递归中序遍历左子树
    访问当前节点（输出节点的值或进行其他操作）
    inorderTraversal(node.right)  # 递归中序遍历右子树

迭代实现中序遍历通常使用栈（Stack）数据结构辅助完成。算法步骤如下：

1. 创建一个空栈。
2. 初始化当前节点为根节点。
3. 当栈不为空或当前节点不为空时，执行以下操作：
   • 将当前节点以及其所有左子节点依次入栈，直到当前节点为空。
   • 弹出栈顶节点，访问该节点（输出节点的值或进行其他操作）。
   • 将当前节点指向弹出节点的右子节点。

迭代实现中序遍历的伪代码如下：

inorderTraversal(node):
    创建一个空栈
    初始化当前节点为根节点
    while 栈不为空 或者 当前节点不为空：
        将当前节点以及其所有左子节点依次入栈，直到当前节点为空
        弹出栈顶节点并访问该节点
        将当前节点指向弹出节点的右子节点

无论是递归实现还是迭代实现，中序遍历会按照左子树、根节点、右子树的顺序遍历二叉树中的节点。中序遍历常用于对二叉搜索树进行排序，也可以用于在二叉树中查找节点或执行其他与节点顺序相关的操作。

4 后序遍历

后序遍历（Post-order traversal）是一种二叉树遍历的方式，它按照左子树、右子树、根节点的顺序访问二叉树中的节点。

具体来说，后序遍历的步骤如下：

1. 递归地后序遍历左子树。
2. 递归地后序遍历右子树。
3. 访问当前节点（根节点）。

可以使用递归或迭代的方式实现后序遍历。

递归实现后序遍历的伪代码如下：

postorderTraversal(node):
    if node is null:
        return
    postorderTraversal(node.left)  # 递归后序遍历左子树
    postorderTraversal(node.right)  # 递归后序遍历右子树
    访问当前节点（输出节点的值或进行其他操作）

迭代实现后序遍历通常使用栈（Stack）数据结构辅助完成。算法步骤如下：

1. 创建两个栈，一个用于存储节点，另一个用于存储后序遍历的结果。
2. 初始化当前节点为根节点，并将其入栈。
3. 当节点栈不为空时，执行以下操作：
   • 弹出栈顶节点，将其压入结果栈。
   • 如果弹出节点的左子节点不为空，将左子节点入节点栈。
   • 如果弹出节点的右子节点不为空，将右子节点入节点栈。
4. 当节点栈为空时，所有节点已遍历完毕。将结果栈中的节点依次弹出，即为后序遍历的结果。

迭代实现后序遍历的伪代码如下：

postorderTraversal(node):
    创建一个节点栈
    创建一个结果栈
    将根节点入节点栈
    while 节点栈不为空:
        弹出栈顶节点并将其压入结果栈
        如果弹出节点的左子节点不为空，将左子节点入节点栈
        如果弹出节点的右子节点不为空，将右子节点入节点栈
    while 结果栈不为空:
        弹出结果栈顶节点并访问该节点（输出节点的值或进行其他操作）

无论是递归实现还是迭代实现，后序遍历会按照左子树、右子树、根节点的顺序遍历二叉树中的节点。后序遍历常用于释放二叉树的内存资源、计算表达式的值等场景，也可以用于执行其他与节点顺序相关的操作。

5 总结

前序遍历：根节点->左子树->右子树

中序遍历：左子树->根节点->右子树

后序遍历：左子树->右子树->根节点

如下图二叉树为例，前序遍历的详细步骤：

1. 前两层，只有一个根节点0，遍历结果：0->1->2
2. 加上第三层，有两个根节点1,2，遍历结果：1->3->4和2->5->6，与上一步合在一起，即3,4加在1的后边，5,6加在2的后边，遍历结果：0->1->3->4->2->5->6
3. 加上第四层，又有两个根节点3,4，遍历结果：3->7->8和4->9，与上一步合在一起，即7,8加在3的后边，9加在4的后边，遍历结果：0->1->3->7->8->4->9->2->5->6

中序遍历的详细步骤：

1. 前两层，只有一个根节点0，遍历结果：1->0->2
2. 加上第三层，有两个根节点1,2，遍历结果：3->1->4和5->2->6，与上一步合在一起，即3,4分别加在1的前边和后边，5,6也分别加在2的前边和后边，遍历结果：3->1->4->0->5->2->6
3. 加上第四层，又有两个根节点3,4，遍历结果：7->3->8和9->4，与上一步合在一起，即7,8分别加在3的前边和后边，9加在4的前边，遍历结果：7->3->8->1->9->4->0->5->2->6

后序遍历的详细步骤：

1. 前两层，只有一个根节点0，遍历结果：1->2->0
2. 加上第三层，有两个根节点1,2，遍历结果：3->4->1和5->6->2，与上一步合在一起，即3,4加在1的前边，5,6加在2的前边，遍历结果：3->4->1->5->6->2->0
3. 加上第四层，又有两个根节点3,4，遍历结果：7->8->3和9->4，与上一步合在一起，即7,8加在3的前边，9加在4的前边，遍历结果：7->8->3->9->4->1->5->6->2->0
   

须知少时凌云志，曾许人间第一流。

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