基于Simulink的根轨迹分析法进行系统稳定性分析

原创于 2025-02-16 00:17:25 发布 · 1.2k 阅读

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基于Simulink的根轨迹分析法进行系统稳定性分析

基于Simulink的根轨迹分析法进行系统稳定性分析

1. 背景介绍

1.1 项目背景

在控制系统设计中，系统的稳定性是首要考虑的因素之一。根轨迹分析法是一种通过研究闭环系统特征方程的根随某一参数（如增益 KK）变化而变化的方法，用于判断系统的稳定性。通过绘制根轨迹图，可以直观地分析闭环系统的极点分布，从而评估系统的稳定性。

本项目旨在通过MATLAB/Simulink平台，使用根轨迹分析法对一个典型控制系统的稳定性进行全面分析。我们将以一个包含比例控制器的闭环系统为例，通过调整控制器增益 KK，观察根轨迹的变化，并根据根轨迹分析法判断系统的稳定性。

1.2 系统描述

假设待控对象为一个典型的一阶惯性环节：

G(s)=Kτs+1G(s)=τs+1K

其中：

KK 是系统的增益。
ττ 是系统的惯性时间常数。

通过引入比例控制器，目标是使闭环系统的根轨迹满足以下要求：

所有闭环极点位于复平面的左半平面，确保系统稳定。
根据根轨迹分析法优化控制器增益 KK。

主要目标是：

使用Simulink搭建包含比例控制器的闭环控制系统。
绘制系统的根轨迹图。
根据根轨迹分析法判断系统的稳定性。

1.3 应用场景

工业自动化：如温度控制、压力控制。
机器人控制：如关节运动控制。
汽车工程：如巡航控制系统和自动驾驶中的路径跟踪控制。

2. 系统架构设计

2.1 系统框图

整个系统可以分为以下几个模块：

输入信号模块：提供阶跃信号作为输入。
比例控制器模块：用于调节系统输出。
被控对象模块：模拟待控对象的一阶惯性环节。
反馈模块：将系统输出反馈至比例控制器形成闭环控制。
输出显示模块：用于显示系统的阶跃响应曲线。

系统框图如下所示：

深色版本

阶跃输入 → 比例控制器 → 被控对象 → 输出显示 → 反馈 → 比例控制器

3. Simulink仿真模型步骤

3.1 创建Simulink模型

打开MATLAB并新建一个Simulink模型文件。
定义模型名称为RootLocusAnalysis。

matlab

深色版本

modelName = 'RootLocusAnalysis';
new_system(modelName);
open_system(modelName);

3.2 添加模块

3.2.1 阶跃输入模块

添加一个“Step”模块作为输入信号。

matlab

深色版本

add_block('simulink/Sources/Step', [modelName '/Step_Input']);
set_param([modelName '/Step_Input'], 'StartTime', '0'); % 设置阶跃开始时间为0秒
set_param([modelName '/Step_Input'], 'FinalValue', '1'); % 设置阶跃幅值为1

3.2.2 比例控制器模块

添加一个“Gain”模块作为比例控制器。

matlab

深色版本

add_block('simulink/Math Operations/Gain', [modelName '/Proportional_Controller']);
set_param([modelName '/Proportional_Controller'], 'Gain', '1'); % 初始增益K=1

3.2.3 被控对象模块

添加一个“Transfer Fcn”模块来定义一阶惯性环节。

matlab

深色版本

add_block('simulink/Continuous/Transfer Fcn', [modelName '/Plant']);
set_param([modelName '/Plant'], 'Numerator', '[1]');
set_param([modelName '/Plant'], 'Denominator', '[5 1]'); % 设置τ=5, K=1

3.2.4 反馈模块

添加一个“Sum”模块用于实现反馈。

matlab

深色版本

add_block('simulink/Math Operations/Sum', [modelName '/Feedback_Sum']);
set_param([modelName '/Feedback_Sum'], 'Inputs', '|+-'); % 设置为减法运算

3.2.5 输出显示模块

添加一个“Scope”模块用于显示阶跃响应曲线。

matlab

深色版本

add_block('simulink/Sinks/Scope', [modelName '/Output_Scope']);

3.2.6 数据记录模块

添加一个“To Workspace”模块将输出数据保存到MATLAB工作区。

matlab

深色版本

add_block('simulink/Sinks/To Workspace', [modelName '/Data_Logger']);
set_param([modelName '/Data_Logger'], 'VariableName', 'outputData');
set_param([modelName '/Data_Logger'], 'SaveFormat', 'Array');

3.3 连接模块

将各个模块按照系统框图连接起来。

matlab

深色版本

% 连接阶跃输入到反馈求和模块
add_line(modelName, '/Step_Input/1', '/Feedback_Sum/1', 'autorouting', 'on');

% 连接比例控制器到被控对象
add_line(modelName, '/Proportional_Controller/1', '/Plant/1', 'autorouting', 'on');

% 连接被控对象到输出显示
add_line(modelName, '/Plant/1', '/Output_Scope/1', 'autorouting', 'on');

% 连接被控对象到数据记录器
add_line(modelName, '/Plant/1', '/Data_Logger/1', 'autorouting', 'on');

% 连接反馈求和模块到比例控制器
add_line(modelName, '/Feedback_Sum/1', '/Proportional_Controller/1', 'autorouting', 'on');

% 连接被控对象输出到反馈求和模块
add_line(modelName, '/Plant/1', '/Feedback_Sum/2', 'autorouting', 'on');

3.4 设置仿真参数

设置仿真时间为10秒。

matlab

深色版本

set_param(modelName, 'StopTime', '10'); % 设置仿真时间为10秒
save_system(modelName); % 保存模型

3.5 绘制根轨迹图

在MATLAB中绘制系统的根轨迹图，并分析系统的稳定性。

matlab

深色版本

% 定义开环传递函数
s = tf('s');
G = 1 / (5 * s + 1); % 被控对象传递函数

% 绘制根轨迹图
rlocus(G);

% 添加网格和标题
grid on;
title('Root Locus Analysis');
xlabel('Real Axis');
ylabel('Imaginary Axis');

% 分析稳定性
[K, poles] = rlocfind(G); % 使用鼠标选择感兴趣的点
disp('闭环极点:');
disp(poles);

4. 系统稳定性分析

4.1 观察根轨迹图

通过根轨迹图观察闭环系统的极点分布：

如果所有闭环极点均位于复平面的左半平面，则系统稳定。
如果存在闭环极点位于复平面的右半平面，则系统不稳定。

4.2 调整控制器增益 KK

通过调整比例控制器的增益 KK，观察根轨迹的变化，并找到使系统稳定的增益范围。

例如，将增益 KK 设置为2：

matlab

深色版本

set_param([modelName '/Proportional_Controller'], 'Gain', '2'); % 设置增益K=2

重新运行仿真并观察阶跃响应曲线。

5. 示例代码片段

以下是一个完整的基于Simulink的根轨迹分析法进行系统稳定性分析的仿真模型搭建过程。

matlab

深色版本

% Step 1: Define model name and create a new system
modelName = 'RootLocusAnalysis';
new_system(modelName);
open_system(modelName);

% Step 2: Add Step Input
add_block('simulink/Sources/Step', [modelName '/Step_Input']);
set_param([modelName '/Step_Input'], 'StartTime', '0');
set_param([modelName '/Step_Input'], 'FinalValue', '1');

% Step 3: Add Proportional Controller
add_block('simulink/Math Operations/Gain', [modelName '/Proportional_Controller']);
set_param([modelName '/Proportional_Controller'], 'Gain', '1');

% Step 4: Add Plant Model
add_block('simulink/Continuous/Transfer Fcn', [modelName '/Plant']);
set_param([modelName '/Plant'], 'Numerator', '[1]');
set_param([modelName '/Plant'], 'Denominator', '[5 1]');

% Step 5: Add Feedback Sum
add_block('simulink/Math Operations/Sum', [modelName '/Feedback_Sum']);
set_param([modelName '/Feedback_Sum'], 'Inputs', '|+-');

% Step 6: Add Output Scope
add_block('simulink/Sinks/Scope', [modelName '/Output_Scope']);

% Step 7: Add Data Logger
add_block('simulink/Sinks/To Workspace', [modelName '/Data_Logger']);
set_param([modelName '/Data_Logger'], 'VariableName', 'outputData');
set_param([modelName '/Data_Logger'], 'SaveFormat', 'Array');

% Step 8: Connect Blocks
add_line(modelName, '/Step_Input/1', '/Feedback_Sum/1', 'autorouting', 'on');
add_line(modelName, '/Proportional_Controller/1', '/Plant/1', 'autorouting', 'on');
add_line(modelName, '/Plant/1', '/Output_Scope/1', 'autorouting', 'on');
add_line(modelName, '/Plant/1', '/Data_Logger/1', 'autorouting', 'on');
add_line(modelName, '/Feedback_Sum/1', '/Proportional_Controller/1', 'autorouting', 'on');
add_line(modelName, '/Plant/1', '/Feedback_Sum/2', 'autorouting', 'on');

% Step 9: Set Simulation Parameters
set_param(modelName, 'StopTime', '10');
save_system(modelName);

% Step 10: Draw Root Locus
s = tf('s');
G = 1 / (5 * s + 1); % 被控对象传递函数
rlocus(G); % 绘制根轨迹图
grid on;
title('Root Locus Analysis');
xlabel('Real Axis');
ylabel('Imaginary Axis');

% Step 11: Analyze Stability
[K, poles] = rlocfind(G); % 使用鼠标选择感兴趣的点
disp('闭环极点:');
disp(poles);

6. 结束语

通过这个项目文档，我们详细介绍了如何在Simulink中通过根轨迹分析法进行系统稳定性分析。希望这个示例能够帮助读者更好地理解和应用根轨迹分析技术，并为相关领域的研究和开发提供有价值的参考。如果需要进一步的优化或扩展，可以根据具体的应用需求进行相应的调整和改进。