根轨迹绘制以及如何根据根轨迹判断系统稳定性

根轨迹绘制步骤以及如何根据根轨迹判断系统稳定性

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跟轨迹绘制步骤

在自动控制原理中，根轨迹图用于分析闭环极点随开环增益$K$ 变化时的轨迹。以下是绘制根轨迹图的完整步骤及示例：

一、根轨迹基本概念
根轨迹是开环增益 ( K ) 从 ( $0\to +\infty$ ) 时，闭环特征方程 $1+KG(s)H(s)=0$ 的根在复平面上的轨迹。

二、绘制根轨迹的详细步骤

1. 确定开环零极点

• 开环传递函数： $G(s)H(s)=\frac{K{\prod }_{i=1}^m(s+z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s+p_j)}$
• 标出开环极点（×）和零点（○）：
  • 极点数 $n=$ 分母阶次
  • 零点数 $m=$ 分子阶次

示例： $G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}$，极点 $p=0,-1,-2$，无有限零点。

2. 根轨迹分支数

• 分支数 = 开环极点数 $n$ （每支对应一个闭环极点轨迹）

3. 根轨迹的起点与终点

• 起点：当 $K=0$ 时，根轨迹始于开环极点。
• 终点：
  • 当$K\to +\infty$ 时，根轨迹趋向开环零点。
  • 若 $n>m$，剩余$n-m$ 条分支趋向无穷远。

4. 实轴上的根轨迹

• 判断规则：实轴上某段右侧的实零极点数目之和为奇数时，该段存在根轨迹。

示例（极点 ( 0, -1, -2 )）：

• 区间 $(-\infty ,-2)$、 $(-1,0)$ 满足条件，存在根轨迹。

5. 渐近线（当 ( n > m ) 时）

• 渐近线角度：$\theta =\frac{(2k+1)\pi }{n-m}(k=0,1,...,n-m-1)$
• 渐近线交点（质心）：
  [
  $${\sigma }_c=\frac{\sum \text{极点实部}-\sum \text{零点实部}}{n-m}$$
  ]

示例：

• $n=3$ , $m=0$, 渐近线角度 $\pm 60^{\circ },180^{\circ }$
• 质心${\sigma }_c=\frac{0+(-1)+(-2)}{3}=-1$

6. 分离点与汇合点

• 定义：根轨迹在实轴上分离或汇合的点。
• 计算方法：
  1. 解方程 ( $\frac{dK}{ds}=0$ )
  2. 或解方程 ( $\sum \frac{1}{s+p_j}=\sum \frac{1}{s+z_i}$ )

示例：
分离点方程：
[
$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+2}=0$$
]
解得 $s\approx -0.423$ 。

7. 出射角与入射角

• 出射角（从极点出发的角度）：
  [
  $${\theta }_{p_j}=180^{\circ }+\sum \angle (s+z_i)-\sum _{k\ne j}\angle (s+p_k)$$
  ]
• 入射角（到达零点的角度）：
  [
  $${\theta }_{z_i}=180^{\circ }-\sum \angle (s+p_j)+\sum _{k\ne i}\angle (s+z_k)$$
  ]

8. 与虚轴的交点

• 方法1：令 $s=j\omega$ ，代入特征方程求解 $\omega$ 和 $K$
• 方法2：劳斯判据求临界增益 $K_{crit}$

示例：
特征方程 $$s^3+3s^2+2s+K=0$$
令 $s=j\omega$，解得 $\omega =\sqrt{2}$, $K_{crit}=6$

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三、绘制示例$G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}$

1. 标出极点：( 0, -1, -2 )
2. 实轴根轨迹：$(-\infty ,-2)\cup (-1,0)$
3. 渐近线：角度 ( $60^{\circ },180^{\circ }$, $-60^{\circ }$ )，交点 ( ${\sigma }_c=-1$ )
4. 分离点： $s\approx -0.423$
5. 虚轴交点： $\omega =\sqrt{2}$ , $K=6$

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四、步骤总结表

步骤	关键操作	公式/规则
1. 标零极点	绘制复平面上的零极点位置	$G(s)H(s)=\frac{K\prod (s+z_i)}{\prod (s+p_j)}$
2. 确定分支数	分支数=极点数 ( n )	—
3. 起点与终点	起点：极点；终点：零点或无穷远	—
4. 实轴根轨迹	右侧零极点数之和为奇数的区间	—
5. 渐近线	计算角度与质心	( $\theta =\frac{(2k+1)\pi }{n-m}$ ), ( ${\sigma }_c=\frac{\sum p_j-\sum z_i}{n-m}$ )
6. 分离/汇合点	解 ( $\frac{dK}{ds}=0$ ) 或零极点倒数方程	( $\sum \frac{1}{s+p_j}=\sum \frac{1}{s+z_i}$ )
7. 出射角/入射角	计算角度差	出射角 $180^{\circ }+\sum \angle z_i-\sum \angle p_k$
8. 虚轴交点	代入 ( $s=j\omega$ ) 或劳斯判据	—

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五、注意事项

1. 对称性：根轨迹关于实轴对称。
2. 相对阶次：( $n-m\ge 3$ ) 时，根轨迹必进入右半平面。
3. 验证：通过劳斯判据或代入特定 ( $K$ ) 值验证关键点。

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如何根据根轨迹判断系统稳定性

在自动控制原理中，通过根轨迹图判断系统稳定性的核心依据是闭环极点是否全部位于复平面左半侧。以下是具体判断方法及步骤：

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一、根轨迹稳定性判据
当系统开环增益 ( $K$ )从 ( 0 )变化到( $+\infty$ ) 时：

1. 稳定条件：所有根轨迹分支（即闭环极点）始终位于复平面左半侧（实部 ( $\sigma <0$ )）。
2. 临界稳定条件：至少有一个闭环极点位于虚轴上（即 ( $\sigma =0$ )），此时系统处于等幅振荡状态。
3. 不稳定条件：至少有一个闭环极点位于复平面右半侧（实部 ( $\sigma >0$ )）。

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二、判断步骤

1. 确定根轨迹是否进入右半平面

• 观察根轨迹走向：若存在分支穿过虚轴进入右半平面，则当 ( $K$ ) 超过临界值 ( $K_{crit}$ ) 时，系统不稳定。
• 关键特征：
  • 渐近线方向：若渐近线向右延伸（常见于相对阶次 ( $n-m\ge 3$ ) 的系统），则根轨迹可能进入右半平面。
  • 分离点位置：若分离点位于右半平面，则可能产生右半平面分支。

2. 计算临界增益 ( $K_{crit}$ )
   根轨迹与虚轴的交点对应临界增益 ( $K_{crit}$ )，计算方法如下：
3. 设 ($s=j\omega$ )，代入闭环特征方程 ( $1+G(s)H(s)=0$ )。
4. 分离实部和虚部分别等于零，解方程得到 ( $\omega$ ) 和 ( $K_{crit}$ )。

示例：对于开环传递函数 ( $G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}$ )，闭环特征方程为：
[
$$s^3+3s^2+2s+K=0$$
]
令 $s=j\omega$ ，代入得：
[
$$-j{\omega }^3-3{\omega }^2+2j\omega +K=0$$
]
分离实部和虚部：
[
$$\{\begin{array}{l}-3{\omega }^2+K=0\\ -{\omega }^3+2\omega =0\end{array}$$
]
解得 $\omega =\sqrt{2}$ ， $K_{crit}=6$ 。当 $K>6$ 时，系统不稳定。

3. 分析稳定区域

• 稳定区间：($K<K_{crit}$)
• 不稳定区间：($K>K_{crit}$ )

4. 特殊情况

• 全部根轨迹在左半平面（如二阶无零点系统）：系统对所有 ( K > 0 ) 稳定。
• 根轨迹起点在右半平面（开环不稳定）：需结合具体轨迹走向判断。

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三、稳定性判断的辅助方法

1. 劳斯判据验证：根轨迹与虚轴交点对应劳斯表中出现全零行。
2. 相位裕度与增益裕度：根轨迹与单位圆交点的相位和增益裕度可间接反映稳定性。

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四、总结表格

根轨迹特征	稳定性结论
所有分支始终在左半平面	无条件稳定（( $K\in (0,+\infty )$ )）
分支穿过虚轴进入右半平面	当 ( $K>K_{crit}$ ) 时不稳定
分支起点在右半平面但最终左移	可能条件稳定（存在稳定区间）