根轨迹绘制以及如何根据根轨迹判断系统稳定性

根轨迹绘制步骤以及如何根据根轨迹判断系统稳定性

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跟轨迹绘制步骤

在自动控制原理中，根轨迹图用于分析闭环极点随开环增益$K$ 变化时的轨迹。以下是绘制根轨迹图的完整步骤及示例：

一、根轨迹基本概念
根轨迹是开环增益 ( K ) 从 ( $0\to +\infty$ ) 时，闭环特征方程 $1+KG(s)H(s)=0$ 的根在复平面上的轨迹。

二、绘制根轨迹的详细步骤

1. 确定开环零极点

• 开环传递函数： $G(s)H(s)=\frac{K{\prod }_{i=1}^m(s+z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s+p_j)}$
• 标出开环极点（×）和零点（○）：
  • 极点数 $n=$ 分母阶次
  • 零点数 $m=$ 分子阶次

示例： $G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}$，极点 $p=0,-1,-2$，无有限零点。

2. 根轨迹分支数

• 分支数 = 开环极点数 $n$ （每支对应一个闭环极点轨迹）

3. 根轨迹的起点与终点

• 起点：当 $K=0$ 时，根轨迹始于开环极点。
• 终点：
  • 当$K\to +\infty$ 时，根轨迹趋向开环零点。
  • 若 $n>m$，剩余$n-m$ 条分支趋向无穷远。

4. 实轴上的根轨迹

• 判断规则：实轴上某段右侧的实零极点数目之和为奇数时，该段存在根轨迹。

示例（极点 ( 0, -1, -2 )）：

• 区间 $(-\infty ,-2)$、 $(-1,0)$ 满足条件，存在根轨迹。

5. 渐近线（当 ( n > m ) 时）

• 渐近线角度：$\theta =\frac{(2k+1)\pi }{n-m}(k=0,1,...,n-m-1)$
• 渐近线交点（质心）：
  [
  $${\sigma }_c=\frac{\sum \text{极点实部}-\sum \text{零点实部}}{n-m}$$
  ]

示例：

• $n=3$ , $m=0$, 渐近线角度 $\pm 60^{\circ },$