线性代数基础——矩阵

最新推荐文章于 2025-04-16 22:00:45 发布

Lonelinessser

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文章标签：矩阵 python

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1.矩阵的定义

数表

$eq?%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a_%7B11%7D%20%26a_%7B12%7D%20%26...%20%26%20a_%7B1n%7D%20%5C%5C%20a_%7B21%7D%20%26a_%7B22%7D%20%26...%20%26%20a_%7B2n%7D%20%5C%5C%20...%20%26%20...%20%26%20...%20%26...%20%5C%5C%20a_%7Bs1%7D%20%26a_%7Bs2%7D%20%26...%20%26a_%7Bsn%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

称为一个sxn矩阵

记作：

$eq?%28a_%7Bij%7D%29_%7Bsn%7D$ 或 $eq?A_%7Bs%5Ccdot%20n%7D$

2.矩阵的相等

设矩阵 $eq?A%3D%28a_%7Bij%7D%29_%7Bs%5Ccdot%20n%7D%2CB%3D%28b_%7Bij%7D%29_%7Bk%5Ccdot%20l%7D$ ,若s=k，n=l， $eq?a_%7Bij%7D%3Db_%7Bij%7D$ ，i=1.2.3,...,s，j=1，2，3,...,n则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B

3.一些特殊的矩阵

1.零矩阵

$eq?%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%26...%20%26%200%5C%5C%20...%26%20...%26...%20%5C%5C%200%20%26...%20%26%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

2.行阵

$eq?%28a_1%2Ca_2%2C...%2Ca_n%29$

3.列阵

$eq?%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a_1%5C%5Ca_2%5C%5C...%5C%5Ca_n%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

4.方阵

$eq?%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a_%7B11%7D%20%26a_%7B12%7D%20%26...%20%26a_%7B1n%7D%20%5C%5C%20a_%7B21%7D%20%26a_%7B22%7D%20%26...%20%26a_%7B2n%7D%20%5C%5C%20...%20%26...%20%26...%20%26...%20%5C%5C%20a_%7B1n%7D%20%26a_%7B2n%7D%20%26...%20%26a_%7Bnn%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

5.对角矩阵

$eq?diag%28%5Clambda%20_1%2C...%2C%5Clambda%20_n%29%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Clambda%20_1%20%26...%20%5C%5C%20...%20%26%5Clambda%20_n%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

6.单位矩阵

$eq?E%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26...%20%5C%5C%20...%26%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

7.数量矩阵

$eq?kE%3DE%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20k%20%26...%20%5C%5C%20...%26%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

8.负矩阵

设

$eq?A%3D%28a_%7Bij%7D%29_%7Bs%5Ccdot%20n%7D$

矩阵

$eq?%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20-a_%7B11%7D%20%26-a_%7B11%7D%20%26...%20%26-a_%7B1n%7D%20%5C%5C%20-a_%7B21%7D%20%26-a_%7B22%7D%20%26...%20%26-a_%7B2n%7D%20%5C%5C%20...%20%26...%20%26...%20%26...%20%5C%5C-%20a_%7B1n%7D%20%26-a_%7B2n%7D%20%26...%20%26-a_%7Bsn%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

称为A的负矩阵，记作-A，即

$eq?-A%3D-%28a_%7Bij%7D%29_%7Bs%5Ccdot%20n%7D$

4.矩阵的运算

1.加法

矩阵的加法是指两个同型矩阵对应位置上的元素相加，得到一个新的矩阵。具体来说，如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同，即都是m×n矩阵，那么它们的和 C=A+B也是一个 m×n 矩阵，其中 C 的每个元素 cij 是 A 和 B 对应位置元素的和，即 cij=aij+bij。

$eq?A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a_%7B1n%7D%20%26%20a_%7B12%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20a_%7B1n%7D%20%5C%5C%20a_%7B21%7D%20%26%20a_%7B22%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20a_%7B2n%7D%20%5C%5C%20%26%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5C%5C%20a_%7Bm1%7D%20%26%20a_%7Bm2%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20a_%7Bmn%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%2C%20B%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20b_%7B1n%7D%20%26%20b_%7B12%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20b_%7B1n%7D%20%5C%5C%20b_%7B21%7D%20%26%20b_%7B22%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20b_%7B2n%7D%20%5C%5C%20%26%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5C%5C%20b_%7Bm1%7D%20%26%20b_%7Bm2%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20b_%7Bmn%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

如果 A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n 矩阵，那么它们的和 C=A+B 也是一个 m×n 矩阵，即：

$eq?C%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20c_%7B1n%7D%20%26%20c_%7B12%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20c_%7B1n%7D%20%5C%5C%20c_%7B21%7D%20%26%20c_%7B22%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20c_%7B2n%7D%20%5C%5C%20%26%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5C%5C%20c_%7Bm1%7D%20%26%20c_%7Bm2%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20c_%7Bmn%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

其中：

$eq?c_%7Bij%7D%3Da_%7Bij%7D%20+%20b_%7Bij%7D$

矩阵加法的性质

交换律：矩阵加法满足交换律，即 A+B=B+A。
结合律：矩阵加法满足结合律，即 (A+B)+C=A+(B+C)。
零矩阵：零矩阵 O 是矩阵加法的单位元，即对于任何矩阵 A，有 A+O=A。
负矩阵：对于任何矩阵 A，存在一个负矩阵 −A，使得 A+(−A)=O。

2.矩阵减法

阵的减法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相减，得到一个新的矩阵。具体来说，如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同，即都是m×n 矩阵，那么它们的差 C=A−B 也是一个 m×n 矩阵，其中 C 的每个元素 cij是 A 和 B 对应位置元素的差，即

$eq?c_%7Bij%7D%3Da_%7Bij%7D-b_%7Bij%7D$

设矩阵 AA 和 BB 分别为：

如果 A和 B 的维度相同，即 A 和 B都是 m×n 矩阵，那么它们的差 C=A−B也是一个 m×n矩阵，其中：

其中：

$eq?c_%7Bij%7D%3Da_%7Bij%7D%20-%20b_%7Bij%7D$

矩阵减法的性质

反交换律：矩阵减法不满足交换律，即 A − B ≠ B − A。
结合律：矩阵减法满足结合律，即 (A − B) − C = A − (B + C)。
零矩阵：零矩阵 O 在矩阵减法中扮演着类似于数字零的角色，即对于任何矩阵 A，有 A − O = A。

3.数量乘法

矩阵的数乘（Scalar Multiplication）是指一个矩阵与一个标量（即一个实数或复数）相乘，结果是一个新的矩阵。具体来说，如果A 是

一个 m×n 的矩阵，k 是一个标量，那么它们的数乘 kA 也是一个 m×n 的矩阵，其中 kA 的每个元素是 A 对应位置元素与标量 k 的乘积。

设矩阵 A 为：

如果 k 是一个标量，那么矩阵A 与标量 k 的数乘 kA 是一个 m×n 的矩阵，即：

$eq?kA%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20ka_%7B1n%7D%20%26%20ka_%7B12%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20ka_%7B1n%7D%20%5C%5C%20ka_%7B21%7D%20%26%20ka_%7B22%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20ka_%7B2n%7D%20%5C%5C%20%26%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5C%5C%20ka_%7Bm1%7D%20%26%20ka_%7Bm2%7D%20%26%20%5Cldots%20%26%20ka_%7Bmn%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

其中：

$eq?%28kA%29_%7Bij%7D%3Dk%5Ccdot%20a_%7Bij%7D$

矩阵提公因子：矩阵的所有元素均有公因子k，则k向外提一次。

行列式提公因子：行列式的某一行有公因子k，则k向外提一次。

矩阵数乘的性质

结合律：矩阵数乘满足结合律，即对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (kl)A = k(lA)=l(kA)。
分配律：矩阵数乘满足分配律，即对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (k+l)A = kA + lA。
标量乘法与矩阵加法的分配律：对于任何标量 k，以及任何矩阵 A 和 B，有 k(A+B) = kA + kB。
单位标量：标量 1 是矩阵数乘的单位元，即对于任何矩阵 A，有 1A=A。
零标量：标量 0 是矩阵数乘的零元，即对于任何矩阵 A，有 0A=O，其中 O 是零矩阵。

4.矩阵的乘法

矩阵的乘法是线性代数中的一个基本运算，它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

1.矩阵乘法的条件

两个矩阵A 和 B 能够相乘的条件是：矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。具体来说，如果矩阵 A 是 m×n 的矩阵（即 m

行 n 列），矩阵 B 是 n×p 的矩阵（即 n 行 p 列），那么它们可以相乘，并且乘积矩阵 C 将是 m×p 的矩阵。即乘积矩阵C的行数等于矩

阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数(中间相等，取两端)。

2.矩阵乘法的定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，B 是一个 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C=A×B 是一个 m×p 的矩阵，其中 C 的第 i 行

第 j 列的元素 cij 定义为：

$eq?c_%7Bij%7D%3D%5Csum%20_%7Bk%3D1%7D%5En%20a_%7Bik%7Db_%7Bkj%7D$

其中 aik 是矩阵 A 的第i行第 k 列的元素，bk 是矩阵 B 的第 k 行第j 列的元素。

3.矩阵乘法的性质

结合律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C，如果它们的维度使得乘法有意义，那么 (A×B)×C=A×(B×C)。
分配律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C，如果它们的维度使得乘法有意义，那么 A×(B+C)=A×B+A×C 和 (A+B)×C=A×C+B×C。
单位矩阵：对于任意矩阵 A，如果存在一个单位矩阵 E（维度与A 相匹配），那么 A×E=E×A=A，注意两个E的维度不一定一样。

4.矩阵乘法不满足的性质

交换律：AXB一般不等于BXA，如矩阵A维度2x2，B维度2x3，AxB的维度=2x3，BxA则不能相乘，因为B的列数不等于A的行数。如果AXB等于BXA，则矩阵A和B是同阶的方阵，并称A和B是可交换的矩阵。
消去律：由AXB=AXC，不能推导出B=C
由AxB=O，不能推出A=O或B=O

5.矩阵的幂

矩阵的幂是指将一个矩阵自身相乘多次的操作。具体来说，如果 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为 A 自身相乘 k 次的结果。

设 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为：

$eq?A%5E%7Bk%7D%3DA%5Ccdot%20A%5Ccdot%20...%5Ccdot%20A$ （k个A）

其中 k 是一个正整数。

性质

矩阵幂具有以下性质：

结合律：对于任意正整数 k 和 l，

$eq?%28A%5E%7Bk%7D%29%5E%7Bl%7D%3DA%5E%7Bkl%7D$
分配律：对于任意正整数 k 和 l，

$eq?%28A+B%29%5E%7Bk%7D%5Cneq%20A%5E%7Bk%7D+B%5E%7Bk%7D$

（除非 AA 和 BB 是可交换的）例如A+B的平方：

$eq?%28A+B%29%5E%7B2%7D%3D%20A%5E%7B2%7D%20+%20A%5Ctimes%20B%20+%20B%5Ctimes%20A%20+B%5E%7B2%7D$

如果A和B可交换，则AB=BA，所以

$eq?%28A+B%29%5E%7B2%7D%3D%20A%5E%7B2%7D%20+%202AB+B%5E%7B2%7D$

如果A和B不可交换，则AB与BA不等，则上述公式不能合并为2AB。
单位矩阵：对于任意方阵A，A^0=E，其中 E 是单位矩阵。

6.矩阵的转置

矩阵的转置（Transpose）是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说，如果 A 是一个

m×n 的矩阵，那么它的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其中 A^T 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。

定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，其元素为 aij，那么 A 的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其元素为 aji。

性质

矩阵转置具有以下性质：

(A^T)^T = A：一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。
(A + B)^T = A^T + B^T：两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。
(kA)^T = kA^T：一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。
(AB)^T = B^T A^T：两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积，但顺序相反。

特殊矩阵

对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=A，那么 A 是对称矩阵。对称矩阵的元素关于主对角线对称。
反对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=−A，那么 A 是反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线元素必须为零，且关于主对角线对称的元素互为相反数。

如：

$eq?A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%26%201%20%26%203%20%5C%5C%20-1%20%26%200%20%26%204%20%5C%5C%20-3%20%26%20-4%20%26%200%5Cend%7Bpmatrix%7D$

$eq?A%5E%7BT%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%26%20-1%20%26%20-3%20%5C%5C%201%20%26%200%20%26%20-4%20%5C%5C%203%20%26%204%20%26%200%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D-A$

反对称矩阵：

$eq?a_%7Bij%7D%3D-a_%7Bji%7D$

所以

$eq?a_%7Bii%7D%3D-a_%7Bii%7D%3D%3E2a_%7Bii%7D%3D0%3D%3Ea_%7Bii%7D%3D0$

得出主对角线元素必须为零。
对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。
矩阵A和B为同阶对称矩阵，AB对称的充要条件为AB=BA

7.方阵的行列式

要计算行列式的前提为矩阵A为方阵。

性质：A为n阶的方阵

$|A^{T}|=|A|$

$|kA|=k^{n}|A|$

$|-A|=(-1)^{n}|A|$

$|AB|=|A||B|$

$|A^{m}|=|A|^{m}$

$|E|=1$

8.伴随矩阵

设 A 是一个 n×n 的方阵，其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵，其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji，即：

$(A^{*})_{ij}=C^{ji}=(-1)^{i+j}M_{ji}$

其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式，即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。

简单理解：

1.先按行求出每个元素的代数余子式

2.将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵，该矩阵就是伴随矩阵。

例如：

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4\end{pmatrix}$

求A的伴随矩阵A*

解：

按行求出每个元素的代数余子式：

$C_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}=1,C_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}=-5,C_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\\ C_{21}=-3,C_{22}=3,C_{23}=0\\ C_{31}=2,C_{32}=-1,C_{33}=-1$

然后将每行元素的代数余子式按列组成矩阵：

$C=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}$

性质1：

$AA^{*}=A^{*}A=|A|E$

证明：

$\begin{pmatrix} a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n} & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+...+a_{2n}C_{2n} & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{n1}C_{n1}+a_{n2}C_{n2}+...+a_{nn}C_{nn}\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}|A| & 0 & ... & 0 \\ 0 & |A| & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & |A| \end{pmatrix}=|A|E$

性质2：

$|A^{*}|=|A|^{n-1}$

证明：

$|AA^{*}|=|A||A^{*}|=||A|E|=|A|^{n}|E|=|A|^{n}$

所以

$|A||A^{*}|=|A|^{n}=>|A|(|A|^{n-1}-|A^{*}|)=0$

得出

$|A|=0 or |A^{*}|=|A|^{n-1}$

如果|A|=0，则A中两行元素相等或成比例，或一行元素为0，则其代数余子式必有一行元素为0，所以

$|A^{*}|=0=0^{n-1}=|A|^{n-1}$

所以等式成立。

9.逆矩阵

对于一个 n×n 的方阵 A，如果存在另一个 n×n的方阵 B，使得 AB=BA=E，其中 E 是 n×n 的单位矩阵，那么 B 称为 A 的逆矩阵，记作

$A^{-1}$

1.逆矩阵的存在条件

一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的，即 det⁡(A)≠0。如果 det⁡(A)=0，则 A 是奇异矩阵，没有逆矩阵。

思考：如果A可逆，则可逆矩阵是唯一的

证明：

假设可逆矩阵不是唯一的，存在两个可逆矩阵B1和B2，则由可逆矩阵定义可知：

$AB_{1}=B_{1}A=E\\ AB_{2}=B_{2}A=E$

则：

$B_{1}=B_{1}E=B_{1}(AB_{2})=(B_{1}A)B_{2}=EB_{2}=B_{2}$

所以可逆矩阵唯一。

2.性质

n阶方阵A可逆的充要条件为

$|A|\neq 0$

且当A可逆时，

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}$

证明：

充分性：

因为

$|A|\neq 0$

则

$AA^{*}=A^{*}A=|A|E=>A(\dfrac{1}{|A|}A^{*})=(\dfrac{1}{|A|}A^{*})A=E$

所以A可逆，并且

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}$

必要性：

因为A可逆，则

$AB=BA=E=>|AB|=|A||B|=|E|=1$

所以

$|A|\neq 0$

5.初等变换

初等变换一般可以分为两种类型：行变换、列变换。

1.初等行变换

交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置

如：矩阵第二行和第三行交换

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$
某一行乘以非零常数：将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k

如：第二行乘以非零整数k

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4k & 5k & 6k \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$
某一行加上另一行的倍数：将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍

如：矩阵第一行乘以-4加到第二行

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$

2.初等列变换

交换两列：将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
某一列乘以非零常数：将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
某一列加上另一列的倍数：将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍
矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地 $A\neq B$

3.阶梯形矩阵

如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，则称矩阵A为阶梯形矩阵

任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵．

6.初等矩阵

1.定义

初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等行变换或初等列变换得到的矩阵。

初等矩阵是由单位矩阵 II 通过以下三种初等行变换或初等列变换得到的矩阵：

交换两行（列）：将单位矩阵的第 i 行和第 j 行（列）交换位置。
某一行（列）乘以非零常数：将单位矩阵的第 i 行（列）乘以一个非零常数k。
某一行（列）加上另一行（列）的倍数：将单位矩阵的第 i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍。

根据初等变换的类型，初等矩阵可以分为以下三种：

1. 交换两行（列）的初等矩阵

交换单位矩阵的第 i 行和第 j 行（列）得到的初等矩阵记作 Eij。例如，交换单位矩阵的第 1 行和第 2 行得到的初等矩阵为：

$E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

2. 某一行（列）乘以非零常数的初等矩阵

将单位矩阵的第 i 行（列）乘以一个非零常数 k 得到的初等矩阵记作 Ei(k)。例如，将单位矩阵的第 2 行乘以 3 得到的初等矩阵为：

$E_{2(3)}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

3. 某一行（列）加上另一行（列）的倍数的初等矩阵

将单位矩阵的第i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍得到的初等矩阵记作 Eij(k)。例如，将单位矩阵的第 2 行加上第 1 行的 2 倍得到的初等矩阵为：

$E_{21(2)}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

将单位矩阵的第 2 列加上第 1 列的 2 倍得到的初等矩阵为：

$E_{21(2)}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

2.初等矩阵的性质

初等矩阵具有以下重要性质：

初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵：
- 交换两行（列）的初等矩阵的逆矩阵是它本身，即
  
  $(E_{ij})^{-1}=E_{ij}$
  
  例如，单位矩阵A：
  
  $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
  
  交换第1行和第2行后的初等矩阵为
  
  $B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
  
  B的行列式
  
  $|B|=-1$
  
  B的伴随矩阵
  
  $B^{*}=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$
  
  B的逆矩阵
  
  $B^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}=(-1)\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=B$
某一行（列）乘以非零常数的初等矩阵的逆矩阵是将该行（列）乘以 1/k，即

$(E_{i(k)})^{-1}=E_{i(\dfrac{1}{k})}$

验证逻辑同上，略
某一行（列）加上另一行（列）的倍数的初等矩阵的逆矩阵是将该行（列）减去另一行（列）的 k 倍，即

$(E_{ij(k)})^{-1}=E_{ij(-k)}$

验证逻辑同上，略
初等矩阵的行列式：
- 交换两行（列）的初等矩阵的行列式为 -1。
- 某一行（列）乘以非零常数的初等矩阵的行列式为 k。
- 某一行（列）加上另一行（列）的倍数的初等矩阵的行列式为 1。

对矩阵A做一次行变换，相当于用同种初等矩阵左乘A

假设有矩阵A，交换第1行和第2行

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\a & b & c\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}->\begin{pmatrix}a & b & c\\1 & 2 & 3\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}$

等同于交换第1行和第2行的初等矩阵左乘矩阵A

$\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\a & b & c\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b & c\\1 & 2 & 3\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}$