概率论——期望与方差

最新推荐文章于 2025-04-09 14:07:44 发布

Lonelinessser

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文章标签：概率论

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1.期望

数学期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值或中心值。数学期望也被称为期望值或均值。它是对随机变量可能取值的加权平均，其中权重是每个可能取值的概率。

1.离散型随机变量的期望

对于离散随机变量 X ，其可能的取值为 x1,x2,…,xn，对应的概率为

$P(X=x_i)=p_i$

则 X 的数学期望定义为：

$E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i$

其中 xi是随机变量 X 的可能取值，pi是 X取值为 xi的概率。

2 连续型随机变量的期望

对于连续随机变量 X ，其概率密度函数为 f(x) ，则 X 的数学期望定义为：

说明：

可以将x理解为随机变量X的取值，f(x)理解为对应的概率。在严格意义上不是正确的，帮助我们理解。

3 随机变量函数的期望

1.离散型随机变量函数的期望

如果 X 是一个离散随机变量，其可能的取值为 x1,x2,…,xn，对应的概率为 P(X=xi)=pi，那么函数 Y=g(X) 的期望值定义为：

$EY=\sum _{i=1}^ng(x_i)p_i$

说明：

g(xi)：X的取值xi带入函数Y=g(X)得到的新的取值。

计算逻辑：

将X的取值直接带入Y=g(X)函数得出新的取值，然后新值乘以对应的概率，将所有新取值与对应概率乘积相加即可。

2 连续型随机变量函数的期望

如果 X 是一个连续随机变量，其概率密度函数为 f(x)，那么函数 Y=g(X)的期望值定义为：

3 二维离散型随机变量函数的期望

如果 (X,Y) 是离散随机变量，其取值集合为 {(xi,yj)} ，对应的概率为

$P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$

那么函数 Z=g(X,Y) 的数学期望定义为：

$EZ=\sum _i\sum _jg(x_i,y_j)p_{ij}$

说明：

$g(x_i,y_j)$

表示将X、Y的所有取值按照Z=g(X,Y) 计算出新的取值。

4 二维连续型随机变量函数的期望

如果 (X,Y) 是连续随机变量，其联合概率密度函数为 f(x,y)，那么函数 Z=g(X,Y)的数学期望定义为：

$EZ=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y) dx dy$

这里，g(X,Y) 是 X和 Y的函数。

4 数学期望的性质

常数的期望等于常数，EC=C
E(X+C)=EX+C
E(CX)=C*EX
E(kX+b)=k*EX+b
E(X±Y)=EX+EY (任何时候都成立 ) E(∑CiXi) = ∑CiEXi
X、Y独立，E(XY)=EX*EY

2.方差

方差是统计学中一个重要的概念，用于衡量随机变量或一组数据的离散程度。它反映了数据点与其平均值之间的偏离程度。方差越大，数据点越分散；方差越小，数据点越集中。

对于一个随机变量 X，其方差 Var(X)或DX定义为：

$DX=E[(X-EX)^2]=E(X^2)-(EX)^2$

$\sqrt {DX}$ 叫做标准差。

1.离散型随机变量的方差

对于离散型随机变量 X，其方差可以表示为：
$DX=\sum _i(x_i-EX)^2\cdot P(X=x_i)$

2 连续型随机变量的方差

对于连续型随机变量 XX，其方差可以表示为：

$DX=\int_{-\infty }^\infty (x-EX)^2\cdot f(x) dx$

3.方差的性质

常数的方差：DC = 0
D(X+C) = X
$D(CX) = C^2DX$
$D(kX+b) = k^2DX$
X、Y独立,D(X±Y) = DX+DY
X、Y不独立，D(X±Y) = DX+DY±2Cov(X,Y) Cov(X,Y)是协方差

3.常见离散型的期望与方差

1.0-1分布

X	0	1
p	1-p	p

$EX=p,\\DX = EX^2-(EX)^2=p-p^2=p(1-p)=pq$

其中q=1-p

2.二项分布

$P(x=k) = C_k^np^kq^{(n-k)},k=0,1......n$

期望与方差：

$E(X)=n\cdot p\\ DX=n\cdot p\cdot (1-p)=npq$

3.几何分布

$P(x=k) = (1-p)^{k-1}p,k=1,2,......n$

$EX = \dfrac{1}{p}\\ DX = \dfrac{(1-p)}{p^2}$ $

4.泊松分布

$EX = \lambda \\DX=\lambda$

4.常见连续型的期望与方差

1.均匀分布

$EX = \int _a^bx(\frac{1}{b-a})dx = (a+b)/2\\ DX = (b-a)^2/12$

2.指数分布

$EX = \frac{1}{\lambda }\\ DX = \frac{1}{\lambda ^2}$

3.正态分布

$X \sim N(u,\sigma ^2)$

期望和方差：

$EX = u\\ DX = \sigma ^2$

5.协方差

协方差是衡量两个随机变量之间线性关系强度的统计量。如果两个变量的协方差为正，它们之间存在正相关关系；如果协方差为负，它们之间存在负相关关系；如果协方差为零，它们之间没有线性关系。

1.定义

对于两个随机变量 X 和 Y，它们的协方差定义为：

$Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]$

其中 EX 和 EY 分别是 X 和 Y 的期望值。

协方差的计算公式可以表示为：

$Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY$

2.性质

$Cov(X,Y) = Cov(Y,X)\\ Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)\\ Cov(X_1+X_2,Y) = Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)\\ Cov(C,X) = 0$

$Cov(X,Y) = 0$ （X，Y独立）

3.相关系数

协方差的一个限制是它的值依赖于变量的尺度。为了克服这个限制，通常使用相关系数（Pearson相关系数）来衡量两个变量之间的线性关系，其定义为：

$\rho =\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt {DX}\sqrt {DY}}$

相关系数的值在 -1 和 1 之间，其中 -1 表示完全负相关，1 表示完全正相关，0 表示没有线性关系。

解释

正相关：如果相关系数为正，表明当一个变量的值增加时，另一个变量的值也倾向于增加。
负相关：如果相关系数为负，表明当一个变量的值增加时，另一个变量的值倾向于减少。
无相关：如果相关系数为零，表明两个变量之间没有线性关系。

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