nyoj61 传纸条（一） （双线dp）

初次学双进程dp，其实就是多维dp，但是就是多一维我的脑子就转不过来了，模模糊糊看得懂而已，

从矩阵的左上角（1,1）点到矩阵的右下角（m,n)点找到两条不相交的路径使其值最大，

题中是从（1,1）到（m,n)走一次，再从（m,n)到（1,1）走一次，我们可以等价变形

一下，变为：同时从（1,1）走向(m,n)找两条路，且这两条路不相交，同时走！

假设有两个人在走，一个人的坐标为（x1,y1),另一个人的坐标为（x2,y2)，有题中规定

只能向下或向右走，则可得状态转移方程：

f(x1,y1,x2,y3)  =  max { f(x1-1,y1,x2-1,y2)  ,f(x1-1,y1,x2,y-1),  f(x1,y1-1,x2-1,y2),  f(x1,y1-1,x2,y2-1)} + map[x1][y1] + map[x2][y2]

这样写的话  时间复杂度会是O(n^4)，比较大容易超时，改进：

因为 两个人是同时走的所以 每次都是同时移动一格：因此有   x1+y1==x2+y2 == k

则状态方程可以改为：

 

f(k,x1,x2) = max{  f(k-1,x1,x2),  f(k-1,x-1,x2) ,f(k-1,x1,x2-1),  f(k-1,x1-1,x2-1)  }  + map[x1][k-x1] + map[x2][k-x2]

其实这个状态方程还是很好理解的，但是困难就在各个变量的取值和方向，

其中k[1,n+m-1]，因为每一步二者都是不一样的，终点是在[m-1][n]和[m][n-1]，所以决策的总数是m+n-1

x1[1,m],x1[1,m]，但是x1!=x2，因为二者不能走到同一步，还有k-x1和k-x2均不能大于n

这个三维得出来的结果其实是对称的，所以可以x1[1,m],x2[x1+1,m]，但是目前还不太明白三维的算出来的结果，感觉很乱，所以先把所有数都算一遍

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
#define N 55
int n,m;
int dp[105][N][N],a[N][N];

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>m>>n;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        cin>>a[i][j];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=2;i<=m+n-1;i++)   //所得结果对称的
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                for(int k=1;k<=m;k++)
                {
                    if(i<j||i<k||j==k) continue;
                    if(i-j>n||i-k>n) continue;
                    dp[i][j][k]=max(max(dp[i-1][j-1][k],dp[i-1][j-1][k-1])
                                    ,max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j][k-1]))
                                    +a[j][i-j]+a[k][i-k];

                }
            }
        }
        cout<<dp[m+n-1][m][m-1]<<endl;
    }
    return 0;
}