poj 3735 Training little cats 题解（构造，矩阵）

最新推荐文章于 2020-07-29 16:30:42 发布

LightningUZ

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分类专栏： POJ 文章标签：题解

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该博客介绍了如何利用矩阵快速幂解决poj 3735问题，该问题涉及交换序列元素、单点加一和置零操作。博主通过构造转移矩阵T并进行矩阵乘法，最终得出序列在多次操作后的结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题链接：
poj

题意简述

给定一个长度为 $n (< = 100)$ 的序列，和一组操作。一组操作由 $k (< = 100)$ 个操作组成，有三种，分别是：

交换两个数
某个单独位置++
某个单独位置=0

重复 $m (< = 1 e 9)$ 次。求最后的序列。

思路

我们发现，要重复很多次，但是长度和一组的数量都不大，而且是立方的复杂度。

立方？！想到了什么！

yeah♂，蒟矩阵。配一张奆佬的图
（原链接，这篇讲的很好）

也就是说，我们构造一个转移矩阵 $T$ ,一开始是一个单位矩阵（对角线是 $1$ 的矩阵）
对于：

交换 $(a, b)$ ：交换 $T$ 的第 $a, b$ 两行（ $O (n)$ ）
点 $a$ ++： $T$ 第 $a$ 行第 $n + 1$ 个位置++
点 $a$ 清零：清零 $T$ 第 $a$ 行。

然后就用 $T$ 左乘初始矩阵矩阵
$\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ ...\\ 0(n个0)\\ 1 \end{bmatrix}$
然后输出乘完的结果即珂。
代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define int long long
    class Matrix//square matrix
    {
        #define N 110//changeable
        private:
            int a[N][N];
        public:
            //variable list
            int n;//size
            //initialization
            Matrix()
            {
                memset(a,0,sizeof(a));
                n=0;
            }
            Matrix(int _n)
            {
                memset(a,0,sizeof(a));
                n=_n;
            }
            Matrix(int _n,int _x)
            {
                n=_n;
                for(int i=0;i<N;++i)
                {
                    for(int j=0;j<N;++j)
                    {
                        a[i][j]=_x;
                    }
                }
            }

            //get value
            int* operator[](int i)
            {
                return *(a+i);
            }

            //set value
            void Set(int x)
            {
                for(int i=0;i<N;++i)
                {
                    for(int j=0;j<N;++j)
                    {
                        a[i][j]=x;
                    }
                }
            }
            void Identity()
            {
                memset(a,0,sizeof(a));
                for(int i=0;i<N;++i)
                {
                    a[i][i]=1;
                }
            }
            #undef N //110
    };
    Matrix operator*(Matrix x,Matrix y)
    {
        Matrix ans(x.n,0);
        int n=ans.n;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                if (x[i][j])
                {
                    for(int k=1;k<=n;++k)
                    {
                        ans[i][k]+=x[i][j]*y[j][k];
                    }
                }
            }
        }
        return ans;
    }
    Matrix operator^(Matrix x,int p)
    {
        Matrix ans(x.n,1);
        ans.Identity();
        while(p)
        {
            if (p&1) ans=ans*x;
            x=x*x,p>>=1;
        }
        return ans;
    }

    int n,m,k;
    Matrix Trans(105,0);
    void Lineswap(int a,int b)
    {
        for(int i=1;i<=n+1;++i)
        {
            swap(Trans[a][i],Trans[b][i]);
        }
    }
    void Lineadd(int a)
    {
        ++Trans[a][n+1];
    }
    void Linecls(int a)
    {
        for(int i=1;i<=n+1;++i)
        {
            Trans[a][i]=0;
        }
    }
    void Soviet()
    {
        Trans.Set(0);
        Trans.Identity();
        for(int i=1;i<=k;++i)
        {
            char c[4];scanf("%s",c);
            if (c[0]=='g')
            {
                int a;scanf("%lld",&a);
                Lineadd(a);
            }
            if (c[0]=='s')
            {
                int a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);
                Lineswap(a,b);
            }
            if (c[0]=='e')
            {
                int a;scanf("%lld",&a);
                Linecls(a);
            }
        }
        Matrix Init(n+1,0);
        Init[n+1][1]=1;
        Init=(Trans^m)*Init;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            printf("%lld ",Init[i][1]);
        }putchar('\n');
    }

    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        while(scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k) and n+m+k)
        {
            Soviet();
        }
    }
    #undef int //long long
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}

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