poj 2478 Farey Sequence 题解（欧拉函数）

LightningUZ

于 2019-07-28 18:49:51 发布

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分类专栏： POJ 文章标签：题解

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本文介绍了POJ 2478题的解决方案，涉及到Farey序列和欧拉函数的应用。题目要求计算分子和分母不超过n的互质真分数的数量。解题关键在于利用欧拉函数的前缀和来解决问题，由于数据规模较小，可以使用暴力计算前缀和。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题链接
poj

题意简述

多组数据。每次给定 $n (< = 1 e 6)$ ，求分子分母均是 $< = n$ 的正整数的真分数有多少个。（注释：真分数：满足1. 分子<分母 2. 分子和分母互质）

思路

这个怎么做呢？观察样例我们珂以有这样一个想法：枚举分母 $i$ ，然后求 $[1, i - 1]$ 中有多少个和 $i$ 互质。

且慢。。。这不就是欧拉函数么？？？
也就是我们要求欧拉函数的前缀和。考虑到数据是 $1 e 6$ 而不是 $1 e 9$ ，我们珂以暴力求前缀和而不是杜教筛。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define N 1001000
    #define int long long
    int primes[N];
    bool notp[N];
    int phi[N];
    void Init()
    {
        int n=1000000;
        int &cnt=primes[0];
        notp[1]=phi[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;++i)
        {
            if (!notp[i])
            {
                primes[++cnt]=i;
                phi[i]=i-1;
            }
            for(int j=1;j<=cnt and i*primes[j]<=n;++j)
            {
                int u=primes[j];
                notp[i*u]=1;
                if (i%u==0) {phi[i*u]=phi[i]*u;break;}
                else phi[i*u]=phi[i]*phi[u];
            }
        }

        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            phi[i]+=phi[i-1];
        }
    }

    int n;

    void Soviet()
    {
        printf("%lld\n",phi[n]-1);
    }

    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        Init();
        while(~scanf("%lld",&n) and n)
        {
            Soviet();
        }
    }
    #undef int //long long
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}

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