洛谷 4139 上帝与几何的正确用法 题解

题意简述

求$2^{2^{2^{2^{2^{2^{{}^{{...}^2}}}}}}}$的值（其中有无穷个2）对$p(p<=1e7)$取余数。多组数据。

数据

输入

第一行一个$T$，表示数据个数。接下来$T$行，每行一个$p$。

输出

对于每个数据，给出答案。

样例

输入
3
2
3
6
输出
0
1
4

思路

正无穷个$2$叠在一起诶。。。这个怎么算啊。。。

别急，我们不是还有欧拉定理呢么。我们会发现，在降幂时，我们将指数膜$\varphi (p)$，然后膜$\varphi \varphi (p)$，然后膜$\varphi \varphi \varphi (p)\cdots$一会，$\varphi (p)$的值就变成了$1$。我们知道$1$膜任何数都是$0$，所以虽然有无穷个$2$叠在一起，但是值是有限的，并且是一个定值。

所以我们就考虑递归求解。设$f(p)$表示原结果膜$p$的值，显然，$f(p)=2^{f(\varphi (p))+\varphi (p)}\%p$。当$p=1$时，我们就返回0。

但是还有一点要注意，我筛就是筛到$1e6$，如果$p$在$1e6$以上，就需要$O(\sqrt{p})$求一遍了。但是这样的过程不会进行多少次（经计算，不会超过4次）。
（当然如果你常数小的话，珂以筛到$1e7$，就不怕$p>1e6$的时候的暴力求了）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 10010000
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    int phi[N],primes[N];
    bool notp[N];
    void Init()//筛出phi
    {
        notp[1]=phi[1]=1;
        int n=10000000;
        int& cnt=primes[0];
        for(int i=2;i<=n;++i)
        {
            if (!notp[i])
            {
                primes[++cnt]=i;
                phi[i]=i-1;
            }
            for(int j=1;j<=cnt and i*primes[j]<=n;++j)
            {
                int u=primes[j];
                notp[i*u]=1;
                if (i%u==0)
                {
                    phi[i*u]=u*phi[i];
                    break;
                }
                else
                {
                    phi[i*u]=(u-1)*phi[i];
                }
            }
        }
    }

    int smul(int a,int b,int m)//防爆的龟速乘
    {
        int r=0;
        while(b)
        {
            if (b&1) r=(r+a)%m;
            a=(a<<1)%m,b>>=1;
        }
        return r;
    }
    int qpow(int a,int b,int m)//快速幂
    {
        int r=1;
        while(b)
        {
            if (b&1) r=smul(r,a,m);
            a=smul(a,a,m),b>>=1;
        }
        return r;
    }
    int calc(int mod)//那个f函数，此处写成了calc
    {
        if (mod==1) return 0;
        return qpow(2,calc(phi[mod])+phi[mod],mod)%mod;
    }

    void Query()
    {
        int T;scanf("%d",&T);
        while(T--)
        {
            int m;scanf("%d",&m);
            printf("%d\n",calc(m));
        }
    }
    void Main()
    {
        Init();
        Query();
    }
}

int main()
{
    Flandle_Scarlet::Main();
    return 0;
}

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