题意简述
给定一个序列,和一个常数mmm,要你把这个序列分成几个连续的部分,每一个部分的和都不能超过mmm,然后让你最小化每一段的最小值的和。
数据
输入
8 17
2 2 2 8 1 8 2 1
输出
12
解释
222∣818∣212 2 2 | 8 1 8 | 2 1222∣818∣21
这样划分使得最小值的和最小=2+8+2=12=2+8+2=12=2+8+2=12
思路
上来就dpdpdp。
dp[i]dp[i]dp[i]表示考虑到iii位置的最优答案,那么dp[i]=dp[j]+max(a[j+1],a[j+2]⋯a[i])dp[i]=dp[j]+max(a[j+1],a[j+2]\cdots a[i])dp[i]=dp[j]+max(a[j+1],a[j+2]⋯a[i]),约束条件1<=j<i1<=j<i1<=j<i且sum(j,i)<=msum(j,i)<=msum(j,i)<=m。
看起来十分完美,交上去也十分完美的TLETLETLE了。(当然,一个正常人是不会交这种代码上去的。。。)
如果能想个办法优化这个转移,使得它变成O(n)O(n)O(n)的就好了。(美好的fantasiesfantasiesfantasies总是要有的,万一足够deepdeepdeep,足够darkdarkdark,能使得这个fantasiesfantasiesfantasies成立呢?)
我们会发现,随着iii的增长,包含iii的那一块的左端点(就是那个最优的jjj)也是单调往右的,不会往左。有了这个神奇的性质,我们就珂以用单调队列来优化这个DPDPDP了。按照套路,我们由于要求最大值,便维护好一个递减的单调队列即可。又因为我们的左端点是单调增的,所以只要在增的时候,把队列中在左端点还左边的点都删掉,然后我们枚举队列中的kkk,我们知道Q[k]Q[k]Q[k]是kkk往后最大的下标,所以我们的转移方程中就不用每次都暴力求一遍最大,只要取a[Q[k]]a[Q[k]]a[Q[k]]即可。然后记得用preprepre维护左端点,然后每次加。
代码:
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 100100
#define int long long
using namespace std;
int n,m,a[N];
int dp[N];
void Input()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
}
}
int Q[N],head,tail;
void Solve()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if (a[i]>m)
//这样的元素,无论分到那个组,或者是单独一组,都没有办法满足条件
{
puts("-1");
return;
}
}
head=tail=1;
int pre=1,sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(head<tail and a[Q[tail-1]]<=a[i]) tail--;
Q[tail++]=i;//a[i]入队列
sum+=a[i];
while(sum>m)
{
sum-=a[pre],++pre;//左端点右移
}
while(head<tail and Q[head]<pre) head++;
//去掉不满足条件的左端点
dp[i]=dp[pre-1]+a[Q[head]];
for(int k=head+1;k<tail;k++)
{
dp[i]=min(dp[i],dp[Q[k-1]]+a[Q[k]]);
}
//转移
}
printf("%lld\n",dp[n]);
}
signed main()
{
Input();
Solve();
return 0;
}