poj 3017 题解

这是一篇关于POJ 3017题目的解题报告。给定一个序列和常数m,目标是将序列分成若干连续部分,每个部分和不超过m,求最小化所有段最小值之和。通过动态规划和单调队列优化,实现O(n)的时间复杂度解题方案。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题意简述

给定一个序列,和一个常数mmm,要你把这个序列分成几个连续的部分,每一个部分的和都不能超过mmm,然后让你最小化每一段的最小值的和。

数据

输入
8 17
2 2 2 8 1 8 2 1
输出
12

解释

222∣818∣212 2 2 | 8 1 8 | 2 122281821
这样划分使得最小值的和最小=2+8+2=12=2+8+2=12=2+8+2=12

思路

上来就dpdpdp
dp[i]dp[i]dp[i]表示考虑到iii位置的最优答案,那么dp[i]=dp[j]+max(a[j+1],a[j+2]⋯a[i])dp[i]=dp[j]+max(a[j+1],a[j+2]\cdots a[i])dp[i]=dp[j]+max(a[j+1],a[j+2]a[i]),约束条件1&lt;=j&lt;i1&lt;=j&lt;i1<=j<isum(j,i)&lt;=msum(j,i)&lt;=msum(j,i)<=m
看起来十分完美,交上去也十分完美的TLETLETLE了。(当然,一个正常人是不会交这种代码上去的。。。)
如果能想个办法优化这个转移,使得它变成O(n)O(n)O(n)的就好了。(美好的fantasiesfantasiesfantasies总是要有的,万一足够deepdeepdeep,足够darkdarkdark,能使得这个fantasiesfantasiesfantasies成立呢?)
我们会发现,随着iii的增长,包含iii的那一块的左端点(就是那个最优的jjj)也是单调往右的,不会往左。有了这个神奇的性质,我们就珂以用单调队列来优化这个DPDPDP了。按照套路,我们由于要求最大值,便维护好一个递减的单调队列即可。又因为我们的左端点是单调增的,所以只要在增的时候,把队列中在左端点还左边的点都删掉,然后我们枚举队列中的kkk,我们知道Q[k]Q[k]Q[k]kkk往后最大的下标,所以我们的转移方程中就不用每次都暴力求一遍最大,只要取a[Q[k]]a[Q[k]]a[Q[k]]即可。然后记得用preprepre维护左端点,然后每次加。

代码:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 100100
#define int long long
using namespace std;

int n,m,a[N];
int dp[N];

void Input()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
}

int Q[N],head,tail;
void Solve()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (a[i]>m)
        //这样的元素,无论分到那个组,或者是单独一组,都没有办法满足条件
        {
            puts("-1");
            return;
        }
    }

    head=tail=1;
    int pre=1,sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail and a[Q[tail-1]]<=a[i]) tail--;
        Q[tail++]=i;//a[i]入队列

        sum+=a[i];
        while(sum>m)
        {
            sum-=a[pre],++pre;//左端点右移
        }
        while(head<tail and Q[head]<pre) head++;
        //去掉不满足条件的左端点

        dp[i]=dp[pre-1]+a[Q[head]];
        for(int k=head+1;k<tail;k++)
        {
            dp[i]=min(dp[i],dp[Q[k-1]]+a[Q[k]]);
        }
        //转移
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);
}

signed main()
{
    Input();
    Solve();
    return 0;
}
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