洛谷 4247 bzoj 2962 [清华集训2012]序列操作

博客观赏效果更佳：
cnblogs
github

题意简述

给一个长度为 $n$ 的序列 $a$，支持 $q$ 个操作：
I l r x 区间元素整体 $+x$。

R l r 区间元素整体 $\times (-1)$

Q l r x 询问：从 $[l,r]$ 中选择 $x$ 个数的积的所有方案的和，$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}19940417$。

$n,q\le 5\times 10^4$。

所有操作保证 $[l,r]$ 有意义。操作 I 中，$x\le 10^9$；操作 Q 中，$x\le min(r-l+1,20)$

思路

我们观察到 $x\le 20$。不妨在线段树中维护每一种情况的答案。设 $S[x]$ 表示当前节点中选择 $x$ 个数的积的所有方案的和。为了方便考虑，设 $S[0]=1$。然后，显然还需要维护取相反数的标记和加法标记。

然后开始线段树传 统 艺 能了。

如何合并左右儿子的答案

我们在左半边选 $a$ 个，右半边选 $b$ 个，那就一共选了 $a+b$ 个，贡献是 $lS[a]\times rS[b]$。其中 $lS,rS$ 表示左儿子，右儿子的 $S$ 数组。

如何单节点加值

我们其实就是要考虑这样一个东西：

$a_1\times a_2\cdots \times a_m$ 如何变成 $(a_1+x)(a_2+x)\cdots (a_m+x)$

每个括号里可能是 $a_i$，也可能是 $x$。

枚举 $i$ 个括号出了 $a_i$，剩下 $m-i$ 个括号出了 $x$，贡献为：

(a 中选 i 个数的积的所有方案的和) $\times x^{m-i}$。

那么，$S[m]$ （不要想歪）该怎么算呢？还是不好算。

其实是因为还差一步转换：我们考虑每个 $i$ 给 $m$ 的贡献。

根据上面的式子，当前的 $i$ 会给 $S[m]$ 加上 $S[i]\times x^{m-i}$ 。那么，加了多少遍呢？我们上面假设现在钦定了 $i$ 个括号出了 $a_i$，然后剩下 $m-i$ 个括号出了 $x$。剩下 $m-i$ 个括号显然不是唯一确定的，那么它们有多少种选择呢？显然是 $C_{len-i}^{m-i}$。其中 $len$ 表示线段树当前区间的长度。

于是，
$$S[m]=\sum _{i=1}^{m}S[i]\times x^{m-i}\times C_{len-i}^{m-i}$$

如何单节点取反

显然，取反只会改变正负性，不改变绝对值，而且只有奇数位置会被改变正负性。

即：对于奇数的 $i$，$S[i]$ 变为 $-S[i]$。

到此，这题涉及到的全部操作都解决了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
	#define N 54444
	#define mod 19940417
	#define int long long
	#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
	#define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
	#define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
	#define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
	#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
	#define FK(x) MEM(x,0)
	#define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),v=G.To(i))
	#define p_b push_back
	#define sz(a) ((int)a.size())
	#define iter(a,p) (a.begin()+p)
	int I()
	{
	    int x=0;char c=getchar();int f=1;
	    while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
	    while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	    return (x=(f==1)?x:-x);
	}
	void Rd(int cnt,...)
	{
	    va_list args; va_start(args,cnt);
	    F(i,1,cnt) {int* x=va_arg(args,int*);(*x)=I();}
	    va_end(args);
	}

	// ==================== 预处理组合数
	int CC[N][30];
	void Init()
	{
		CC[0][0]=1;
		int n=5e4;
		F(i,1,n) 
		{
			CC[i][0]=1;
			F(j,1,min(20ll,i)) CC[i][j]=(CC[i-1][j-1]+CC[i-1][j])%mod;
		}
	}
	// ====================

	struct node{int l,r; bool f; int a,ans[22];};
	node operator+(node ls,node rs) // 合并区间就用重载运算符了
	{
		node cur;
		cur.l=ls.l; cur.r=rs.r; cur.f=0; cur.a=0;
		FK(cur.ans);
		F(i,0,min(20ll,ls.r-ls.l+1)) F(j,0,min(20ll-i,rs.r-rs.l+1))
		{
			cur.ans[i+j]=(cur.ans[i+j]%mod+ls.ans[i]*rs.ans[j]%mod+2*mod)%mod;
            // cur.ans[i+j]+=ls.ans[i]*rs.ans[j]
            // 话说取膜好丑啊...
		}
		return cur;
	}
	class SegmentTree
	{
	public:
		node tree[N<<2];
		#define ls index<<1
		#define rs index<<1|1
		#define L tree[index].l
		#define R tree[index].r
		#define C tree[index].f
		#define A tree[index].a
		#define S tree[index].ans
		#define lL tree[ls].l
		#define lR tree[ls].r
		#define lC tree[ls].f
		#define lA tree[ls].a
		#define lS tree[ls].ans
		#define rL tree[rs].l
		#define rR tree[rs].r
		#define rC tree[rs].f
		#define rA tree[rs].a
		#define rS tree[rs].ans

		#define up(index) tree[index]=tree[ls]+tree[rs]
		void Build(int l,int r,int index)
		{
			L=l,R=r; C=A=0; FK(S);
			if (l==r) 
			{
				S[0]=1; S[1]=(I()%mod+mod)%mod; // 为了方便合并左右，设 S[0]=1
				return;
			}
			int mid=(l+r)>>1;
			Build(l,mid,ls); Build(mid+1,r,rs);
			up(index);
		}
		void AddOne(int x,int index)
		{
			A=(A+x)%mod;

			int p[22]; p[0]=1;
			F(i,1,min(20ll,R-L+1)) p[i]=p[i-1]*x%mod; // 预处理出幂
			S[0]=1;
			D(i,min(20ll,R-L+1),1) F(j,0,i-1) 
			{
				S[i]=(S[i]+S[j]*p[i-j]%mod*CC[R-L+1-j][i-j]%mod)%mod;
                // S[i]+=S[j]*x^(i-j)*CC[len-j][i-j];
			}
			F(i,0,min(20ll,R-L+1)) S[i]=(S[i]%mod+mod)%mod;
		}
		void FlipOne(int index)
		{
			F(i,1,min(20ll,R-L+1)) S[i]=(i&1)?(mod-S[i]):S[i];
            // 奇数位置取反
			A=mod-A;
            // 注意：取反会影响到加法标记的！！！
			C^=1;
		}
		void PushDown(int index)
		{
			if (C)
			{
				FlipOne(ls); FlipOne(rs); C=0;
			}
			if (A)
			{
				AddOne(A,ls); AddOne(A,rs); A=0;
			}
		}
		void Add(int l,int r,int x,int index)
		{
			if (l>R or L>r) return;
			if (l<=L and R<=r) return AddOne(x,index);
			PushDown(index);
			Add(l,r,x,ls); Add(l,r,x,rs);
			up(index); 
		}
		void Flip(int l,int r,int index)
		{
			if (l>R or L>r) return;
			if (l<=L and R<=r) return FlipOne(index);
			PushDown(index);
			Flip(l,r,ls); Flip(l,r,rs);
			up(index);
		}
		node Query(int l,int r,int index)
		{
			if (l<=L and R<=r) return tree[index];

			PushDown(index);
			int mid=(L+R)>>1;
			if (mid<l)  return Query(l,r,rs);
			if (r<=mid) return Query(l,r,ls);
			return Query(l,r,ls)+Query(l,r,rs);
		}
	}T;

	int n,m;
	void Input()
	{
		Rd(2,&n,&m);
		T.Build(1,n,1);
	}
	void Soviet()
	{
		Init();
		F(i,1,m)
		{
			char s[3]; scanf("%s",s);
			if (s[0]=='I')
			{
				int l,r,x; Rd(3,&l,&r,&x);
				T.Add(l,r,x,1);
			}
			if (s[0]=='R')
			{
				int l,r; Rd(2,&l,&r);
				T.Flip(l,r,1);
			}
			if (s[0]=='Q')
			{
				int l,r,k; Rd(3,&l,&r,&k);
				node ans=T.Query(l,r,1);
				printf("%lld\n",ans.ans[k]);
			}
		}
	}

	#define Flan void
	Flan IsMyWife()
	{
		Input();
		Soviet();
	}
	#undef int //long long
}
int main()
{
	Flandre_Scarlet::IsMyWife();
	getchar();getchar();
	return 0;
}