【OI学习笔记】数论-欧拉函数

本文介绍了欧拉函数的概念及其计算方法,包括欧拉函数的定义、性质证明及其实现的算法。此外,还探讨了欧拉定理,并给出了具体的代码实现。

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“读读欧拉,他是所有人的老师”——法国数学家拉普拉斯

upd:
2022/8/29 修正文章中的 Latex 用法

板块:基础数论
前置知识:唯一分解定理
难度:较易
前置知识一览:

  • 唯一分解定理:对于一个数 n∈Nn\in NnNnnn 不为质数,则 nnn 可以被唯一分解为 n=∏pikin=\prod p_i^{k_i}n=pikipip_ipi 为质数)。最早的证明由欧几里得给出。

什么是欧拉函数-定义

计算 1∼n1\sim n1n 中与 nnn 成互质数的个数的称为欧拉函数,记作 φ(n)\varphi(n)φ(n).形式化地,设 n=∏i=1npikin=\prod \limits_{i=1}^{n} p_i^{k_i}n=i=1npiki,则 φ(n)=n∏i=1n(1−1pi)=∏i=1npiki−1×(pi−1)\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^{n} (1-\frac{1}{p_i})=\prod \limits_{i=1}^{n} p_i^{k_i-1}\times (p_i-1)φ(n)=ni=1n(1pi1)=i=1npiki1×(pi1)

欧拉函数为什么对-证明

已知欧拉函数是一个积性函数,当 m,nm,nm,n 互质时,φ(nm)=φ(m)×φ(n)\varphi(nm)=\varphi(m)\times \varphi(n)φ(nm)=φ(m)×φ(n)
由唯一分解定理可知n=∏i=1xpikin=\prod \limits_{i=1}^{x} p_i^{k_i}n=i=1xpiki
所以 φ(n)=∏i=1xφ(piki)\varphi(n)=\prod \limits_{i=1}^{x} \varphi(p_i^{k_i})φ(n)=i=1xφ(piki)
对于 ∀s,φ(psks)=psks−psks−1\forall s,\varphi(p_s^{k_s})=p_s^{k_s}-p_s^{k_s-1}s,φ(psks)=pskspsks1
从定义出发 φ(psks)\varphi(p_s^{k_s})φ(psks) 等于小于或等于 psksp_s^{k_s}psks 的正整数中与 psksp_s^{k_s}psks 互质的数的总数,
从 1 到 psksp_s^{k_s}psks 中共有 psksp_s^{k_s}psks 个数字,其中与 psksp_s^{k_s}psks 互质的数有 ps,2ps,...,psks−1×psp_s,2p_s,...,p_s^{k_s-1}\times p_sps,2ps,...,psks1×ps,共 psks−1p_s^{k_s-1}psks1 项,
所以 φ(ps)=psks−psks−1=psas×(1−1ps)\varphi(p_s)=p_s^{k_s}-p_s^{k_s-1}=p_s^{a_s}\times (1-\frac{1}{p_s})φ(ps)=pskspsks1=psas×(1ps1).
因此有:
φ(n)=∏i=1nφ(piki)=∏i=1n(piki−piki−1)=∏i=1npiki×(1−1pi)=∏i=1npiki∏i=1n(1−1pi)=n×∏i=1n(1−1pi).\varphi(n)=\prod\limits_{i=1}^{n}\varphi(p_i^{k_i})\\ =\prod\limits_{i=1}^{n}(p_i^{k_i}-p_i^{k_i-1})\\ =\prod\limits_{i=1}^{n}{p_i^{k_i}\times(1-\frac{1}{p_i})}\\ =\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{k_i}\prod\limits_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i})\\ =n\times\prod\limits_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i}). φ(n)=i=1nφ(piki)=i=1n(pikipiki1)=i=1npiki×(1pi1)=i=1npikii=1n(1pi1)=n×i=1n(1pi1).
至于我给出的另外一个形式,是这样得来的,由上式的倒数第二行得出:
∏i=1npiki×(1−1pi)=∏i=1n(piki−piki−1)=∏i=1n(piki−1×pi−piki−1)=∏piki−1×(pi−1)\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{k_i}\times (1-\frac{1}{p_i})\\ =\prod\limits_{i=1}^{n}(p_i^{k_i}-p_i^{k_i-1})\\ =\prod\limits_{i=1}^{n}(p_i^{k_i-1}\times p_i-p_i^{k_i-1})\\ =\prod p_i^{k_i-1}\times (p_i-1) i=1npiki×(1pi1)=i=1n(pikipiki1)=i=1n(piki1×pipiki1)=piki1×(pi1)

欧拉函数怎么实现-代码

公式法求 φ(n)\varphi(n)φ(n)

这里用的公式是我给出的两个公式的前者。
因为每次乘的是 1−1pi1-\frac{1}{p_i}1pi1,那么把 1 看做 pipi\frac{p_i}{p_i}pipi,也就是pipi−1pi=pi−1pi\frac{p_i}{p_i}-\frac{1}{p_i}=\frac{p_i-1}{p_i}pipipi1=pipi1.

	    scanf("%d", &n);
        int res = n;
        for (int i = 2; i <= n / i; i++)
        {
            if (n % i == 0)
            {
                res = res / i * (i - 1); //做了一点点小小的优化
                while (n % i == 0) n /= i;
            }
        }
        if (n > 1) res = res / n * (n - 1);
        printf("%d\n", res);

用欧拉筛求所有数的欧拉函数和

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

typedef long long LL;

int n;
int primes[N], phi[N], cnt;
bool st[N];

LL get_eulers(int x)
{
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= x; i++)
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= x / i; j++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    
    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= x; i++) res += phi[i];
    
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    printf("%lld", get_eulers(n));
    
    return;
}

*扩展:

  • 欧拉定理:∀a⊥n,aφ(n)≡1( mod n)\forall a \perp n,a^{\varphi(n)}\equiv 1 (\bmod n)an,aφ(n)1(modn)。对于任意一个与 nnn 互质的数 aaaaφ(n)a^{\varphi(n)}aφ(n) 与 1 对模 nnn 同余。
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