“读读欧拉,他是所有人的老师”——法国数学家拉普拉斯
upd:
2022/8/29 修正文章中的 Latex 用法
板块:基础数论
前置知识:唯一分解定理
难度:较易
前置知识一览:
- 唯一分解定理:对于一个数 n∈Nn\in Nn∈N 且 nnn 不为质数,则 nnn 可以被唯一分解为 n=∏pikin=\prod p_i^{k_i}n=∏piki(pip_ipi 为质数)。最早的证明由欧几里得给出。
什么是欧拉函数-定义
计算 1∼n1\sim n1∼n 中与 nnn 成互质数的个数的称为欧拉函数,记作 φ(n)\varphi(n)φ(n).形式化地,设 n=∏i=1npikin=\prod \limits_{i=1}^{n} p_i^{k_i}n=i=1∏npiki,则 φ(n)=n∏i=1n(1−1pi)=∏i=1npiki−1×(pi−1)\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^{n} (1-\frac{1}{p_i})=\prod \limits_{i=1}^{n} p_i^{k_i-1}\times (p_i-1)φ(n)=ni=1∏n(1−pi1)=i=1∏npiki−1×(pi−1)。
欧拉函数为什么对-证明
已知欧拉函数是一个积性函数,当 m,nm,nm,n 互质时,φ(nm)=φ(m)×φ(n)\varphi(nm)=\varphi(m)\times \varphi(n)φ(nm)=φ(m)×φ(n),
由唯一分解定理可知n=∏i=1xpikin=\prod \limits_{i=1}^{x} p_i^{k_i}n=i=1∏xpiki,
所以 φ(n)=∏i=1xφ(piki)\varphi(n)=\prod \limits_{i=1}^{x} \varphi(p_i^{k_i})φ(n)=i=1∏xφ(piki),
对于 ∀s,φ(psks)=psks−psks−1\forall s,\varphi(p_s^{k_s})=p_s^{k_s}-p_s^{k_s-1}∀s,φ(psks)=psks−psks−1,
从定义出发 φ(psks)\varphi(p_s^{k_s})φ(psks) 等于小于或等于 psksp_s^{k_s}psks 的正整数中与 psksp_s^{k_s}psks 互质的数的总数,
从 1 到 psksp_s^{k_s}psks 中共有 psksp_s^{k_s}psks 个数字,其中与 psksp_s^{k_s}psks 不互质的数有 ps,2ps,...,psks−1×psp_s,2p_s,...,p_s^{k_s-1}\times p_sps,2ps,...,psks−1×ps,共 psks−1p_s^{k_s-1}psks−1 项,
所以 φ(ps)=psks−psks−1=psas×(1−1ps)\varphi(p_s)=p_s^{k_s}-p_s^{k_s-1}=p_s^{a_s}\times (1-\frac{1}{p_s})φ(ps)=psks−psks−1=psas×(1−ps1).
因此有:
φ(n)=∏i=1nφ(piki)=∏i=1n(piki−piki−1)=∏i=1npiki×(1−1pi)=∏i=1npiki∏i=1n(1−1pi)=n×∏i=1n(1−1pi).\varphi(n)=\prod\limits_{i=1}^{n}\varphi(p_i^{k_i})\\
=\prod\limits_{i=1}^{n}(p_i^{k_i}-p_i^{k_i-1})\\
=\prod\limits_{i=1}^{n}{p_i^{k_i}\times(1-\frac{1}{p_i})}\\
=\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{k_i}\prod\limits_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i})\\
=n\times\prod\limits_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i}).
φ(n)=i=1∏nφ(piki)=i=1∏n(piki−piki−1)=i=1∏npiki×(1−pi1)=i=1∏npikii=1∏n(1−pi1)=n×i=1∏n(1−pi1).
至于我给出的另外一个形式,是这样得来的,由上式的倒数第二行得出:
∏i=1npiki×(1−1pi)=∏i=1n(piki−piki−1)=∏i=1n(piki−1×pi−piki−1)=∏piki−1×(pi−1)\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{k_i}\times (1-\frac{1}{p_i})\\
=\prod\limits_{i=1}^{n}(p_i^{k_i}-p_i^{k_i-1})\\
=\prod\limits_{i=1}^{n}(p_i^{k_i-1}\times p_i-p_i^{k_i-1})\\
=\prod p_i^{k_i-1}\times (p_i-1)
i=1∏npiki×(1−pi1)=i=1∏n(piki−piki−1)=i=1∏n(piki−1×pi−piki−1)=∏piki−1×(pi−1)
欧拉函数怎么实现-代码
公式法求 φ(n)\varphi(n)φ(n)
这里用的公式是我给出的两个公式的前者。
因为每次乘的是 1−1pi1-\frac{1}{p_i}1−pi1,那么把 1 看做 pipi\frac{p_i}{p_i}pipi,也就是pipi−1pi=pi−1pi\frac{p_i}{p_i}-\frac{1}{p_i}=\frac{p_i-1}{p_i}pipi−pi1=pipi−1.
scanf("%d", &n);
int res = n;
for (int i = 2; i <= n / i; i++)
{
if (n % i == 0)
{
res = res / i * (i - 1); //做了一点点小小的优化
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n > 1) res = res / n * (n - 1);
printf("%d\n", res);
用欧拉筛求所有数的欧拉函数和
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
typedef long long LL;
int n;
int primes[N], phi[N], cnt;
bool st[N];
LL get_eulers(int x)
{
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= x; i++)
{
if (!st[i])
{
primes[cnt++] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; primes[j] <= x / i; j++)
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0)
{
phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
break;
}
phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
}
}
LL res = 0;
for (int i = 1; i <= x; i++) res += phi[i];
return res;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
printf("%lld", get_eulers(n));
return;
}
*扩展:
- 欧拉定理:∀a⊥n,aφ(n)≡1( mod n)\forall a \perp n,a^{\varphi(n)}\equiv 1 (\bmod n)∀a⊥n,aφ(n)≡1(modn)。对于任意一个与 nnn 互质的数 aaa,aφ(n)a^{\varphi(n)}aφ(n) 与 1 对模 nnn 同余。