欧拉函数及两种实现方式

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欧拉函数及两种实现方式

对一个正整数 $N$ ，欧拉函数是小于 $N$ 且与 $N$ 互质的数的个数。
例如 $φ (24) = 8$ ，因为 $1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ 均和 $24$ 互质。
$n\times (1-1/p_1)\times (1-1/p_2)\times ......(1-1/p_n)$ 其中 $p_1.....p_n)$ 为 $N$ 的素因子

欧拉函数的基本性质：

① $N$ 是不为 $0$ 的整数。 $φ (1) = 1$ （唯一和1互质的数就是1本身）
② 除了 $N = 2, φ (N$ )都是偶数。
③ 小于 $N$ 且与 $N$ 互质的所有数的和是 $φ(n)×n/2φ(n)\times n/2$ 。
④ 欧拉函数是积性函数——若 $m, n$ 互质， $φ(m×n)=φ(m)×φ(n)φ(m\times n)=φ(m)\times φ(n)$ 。
⑤ 当 $N$ 为奇数时， $φ(2×N)=φ(N)φ(2\times N)=φ(N)$
⑥ 若 $N$ 是质数 $p$ 的 $k$ 次幂， $φ(N)=pk−p(k−1)=(p−1)×p(k−1)φ(N)=p^k-p^(k-1)=(p-1)\times p^(k-1)$ ，因为除了 $p$ 的倍数外，其他数都跟 $N$ 互质。
⑦当 $N$ 是质数时， $φ (N) = N - 1$

欧拉公式的延伸：一个数的与其互质的数(<n)的总和是 $euler(n)×n/2euler(n)\times n/2$

实现方式：

直接求法：

long long phi(long long x)
{
    int res = x,a = x;
    for(int i=2;i*i<=a;i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            res = res/i*(i-1);//res -= res/i;
            while(a%i==0)a/=i;
        }
    }
    if(a>1)res =res/a*(a-1);//res -= res/a;
    return res;
}

打表法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Max 1000001
int euler[Max];
int main(){
     euler[1]=1;
     for(int i=2;i<Max;i++)
       euler[i]=i;
     for(int i=2;i<Max;i++)
        if(euler[i]==i)
           for(int j=i;j<Max;j+=i)
              euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
}