欧拉函数及两种实现方式

欧拉函数及两种实现方式

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对一个正整数$N$，欧拉函数是小于$N$且与$N$互质的数的个数。
例如$\phi (24)=8$，因为$1,5,7,11,13,17,19,23$均和 $24$ 互质。
$\phi (n)=n\times (1-1/p_1)\times (1-1/p_2)\times ......(1-1/p_n)$ 其中$(p_1.....p_n)$为$N$的素因子

欧拉函数的基本性质：

① $N$是不为$0$的整数。$\phi (1)=1$（唯一和1互质的数就是1本身）
② 除了$N=2,\phi (N$)都是偶数。
③ 小于$N$且与$N$互质的所有数的和是$\phi (n)\times n/2$。
④ 欧拉函数是积性函数——若$m,n$互质，$\phi (m\times n)=\phi (m)\times \phi (n)$。
⑤ 当$N$为奇数时，$\phi (2\times N)=\phi (N)$
⑥ 若$N$是质数$p$的$k$次幂，$\phi (N)=p^k-p^{(}k-1)=(p-1)\times p^{(}k-1)$，因为除了$p$的倍数外，其他数都跟$N$互质。
⑦当$N$是质数时，$\phi (N)=N-1$

欧拉公式的延伸：一个数的与其互质的数(<n)的总和是 $euler(n)\times n/2$

实现方式：

直接求法：

long long phi(long long x)
{
    int res = x,a = x;
    for(int i=2;i*i<=a;i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            res = res/i*(i-1);//res -= res/i;
            while(a%i==0)a/=i;
        }
    }
    if(a>1)res =res/a*(a-1);//res -= res/a;
    return res;
}

打表法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Max 1000001
int euler[Max];
int main(){
     euler[1]=1;
     for(int i=2;i<Max;i++)
       euler[i]=i;
     for(int i=2;i<Max;i++)
        if(euler[i]==i)
           for(int j=i;j<Max;j+=i)
              euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
}