数论基础——欧拉函数

最新推荐文章于 2025-06-22 19:01:57 发布

浦柳人

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分类专栏：数论黑洞&思维暴力文章标签：欧拉函数

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本文深入探讨了欧拉函数的定义与计算方法，包括通用公式、代码实现及快速求解策略。阐述了欧拉函数的多种性质及其在数学领域的应用，如欧拉定理、费马小定理等。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

欧拉函数：

就是对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

欧拉函数的通式：φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)……(1-1/pn)

其中p1, p2……pn为n的所有质因数，n是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
在这里插入图片描述

所以，根据通式我们可以打出以下代码：

ll eular(ll n)
{
    ll ans = n;
    for(int i=2; i*i <= n; ++i)
    {
        if(n%i == 0)
        {
            ans = ans/i*(i-1);
            while(n%i == 0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans/n*(n-1);
    return ans;
}

其中，if(n>1)ans-=ans/n; 这个语句是为了保证我们已经除完了n的所有的素因子，有可能还会出现一个我们未除的因子，如果结尾出现n>1 ,说明我们还剩一个素因子木有除。

打表求欧拉函数：

听说这样比较快。。。。

void euler()  
{  
    for(int i=2;i<maxn;i++){  
        if(!E[i])  
        for(int j=i;j<maxn;j+=i){  
            if(!E[j])E[j]=j;  
            E[j]=E[j]/i*(i-1);  
        }  
    }  
}

当然，还有百度百科版的：( 欧拉筛素数同时求欧拉函数)

在这里插入图片描述

void get_phi()  
{  
    int i, j, k;  
    k = 0;  
    for(i = 2; i < maxn; i++)  
    {  
        if(is_prime[i] == false)  
        {  
            prime[k++] = i;  
            phi[i] = i-1;  
        }  
        for(j = 0; j<k && i*prime[j]<maxn; j++)  
        {  
            is_prime[ i*prime[j] ] = true;  
            if(i%prime[j] == 0)  
            {  
                phi[ i*prime[j] ] = phi[i] * prime[j];  
                break;  
            }  
            else  
            {  
                phi[ i*prime[j] ] = phi[i] * (prime[j]-1);  
            }  
        }  
    }  
}