7、加法定理的证明与探究

加法定理的证明与探究

1. 加法的基本定义与简单定理

加法的定义是将第一个加数中的 suc 操作逐步提取出来，直到第一个加数变为 zero 。例如：

3 + 2 =
(suc (suc (suc zero))) + (suc (suc zero)) =
suc ((suc (suc zero)) + (suc (suc zero))) =
suc (suc ((suc zero) + (suc (suc zero)))) =
suc (suc (suc (zero + (suc (suc zero))))) =
suc (suc (suc (suc (suc zero)))) =
5

这种算法虽然与我们熟悉的十进制加法有所不同，但更为简单和基础。

1.1 定理 0+

第一个关于加法的简单定理是 0+ ，其类型为：

0+ : @ (x : N) → 0 + x ≡ x
0+ x = refl

该定理表明对于任意自然数 x ， 0 加 x 等于 x 。从加法的定义来看：

_+_ : N → N → N
zero + n = n
suc m + n = suc