47、直线细分的覆盖、填充与相关问题研究

直线细分的覆盖、填充与相关问题研究

在几何问题的研究中，直线细分的覆盖、填充以及独立集、支配集等问题具有重要的理论和实际意义。下面将详细介绍这些问题的相关研究成果。

1. 平面细分的刺探问题

在平面细分中，刺探问题旨在找到最少的点，使得这些点能够“刺中”所有的面。为了得到相关结果，对矩形面的NP - 难问题结果进行了修改。在平面上嵌入小装置后，细分会产生三种类型的面：
- 变量面 ：变量小装置内部的面，且所有变量面都是矩形。
- 子句面 ：与子句小装置相关的矩形面。
- 外面 ：不属于前两者的面。

在引理1的证明中，原本假设规范点（用于刺探变量小装置中8m + 5个矩形的4m + 2个点集）位于直线h2和h3上。但在此进行了修改，只在h2或h3上保留一个点（用于刺探矩形R5），将h2上其余的点垂直向上移动到h1，h3上的点垂直向下移动到h4。显然，任何外面都包含一些变量规范点。经过这样的修改，引理1即使在要刺中细分的所有（直线）面时仍然成立。

1.1 近似算法

• 2.083因子近似 ：给定m条轴平行线段，它们诱导出一个平面细分P，其中有n个有界直线面的集合F。为了提供近似算法，将刺探细分问题的任何实例转换为集合覆盖问题的实例，其中每个集合的大小最多为4。可以观察到，刺探细分问题存在一个仅包含P的顶点（可称为F的角点）的最优解，并且F的任何角点最多可以刺中P中的4个直线面。
  创建集合覆盖问题实例的步骤如下：
  1. 元素集是所有面