30、加权上边缘覆盖与自动机约束树背包问题的研究

加权上边缘覆盖与自动机约束树背包问题的研究

1. 加权上边缘覆盖问题

加权上边缘覆盖问题在图论中是一个重要的研究方向，不同类型的图对于该问题的复杂度和可近似性有不同的表现。

1.1 完全图

在完全图中，加权上边缘覆盖问题有其独特的性质。已知一般图中的最大加权生成星森林（MaxWSSF）问题与完全图中的近似加权上边缘覆盖问题是等价的。由此可以得出推论，在完全图中，加权上边缘覆盖问题具有 1/2 - 可近似性，但除非 P = NP，否则无法在 10/11 + ε 的比例内进行近似。

1.2 二分图

二分图的情况更为复杂。即使在具有二进制权重的二分图中，加权上边缘覆盖问题也存在诸多限制。
- 复杂度证明 ：通过从独立集问题（MaxIS）到加权上边缘覆盖问题的近似保持 APX - 归约，可以证明具有二进制权重和循环不等式的二分图中的加权上边缘覆盖问题与一般图中的最大独立集问题（MaxIS）难度相当。
- 构造新图 ：给定一个连通图 G = (V, E)，构建一个连通的二分边加权图 H = (VH, EH, w)。具体步骤如下：
- 对于每个顶点 vi ∈ V，添加一个包含边集 {vivi,1, vi,1vi,2} 的 P3。
- 对于每条边 e = vivj ∈ E（i < j），在边 e 上添加一个中间顶点 vij。
- 边的权重定义为：若 e = vivi,1 （对于某个 vi ∈ V），则 w(e) = 1；否则 w(e) = 0。
- 证明等价性 ：设 S