26、完全图与无界单调整数线性系统的研究进展

完全图与无界单调整数线性系统的研究进展

完全图的欧拉循环长度上限

在研究完全图的欧拉循环相关问题时，对于某些不等式的验证，人工检查几乎是不可能完成的任务。以不等式 (8) 为例，要验证其对于满足 (a)、(b)、(c)、(d1) 和 (d2) 的任意对 (X, Y) 都成立，这在实际操作中难以实现。不过，借助 SCIP 工具，我们能够在大约十秒内得到某整数规划问题的最优解。

有如下定理：对于任何大于或等于 15 的奇数 n，具有 n 个顶点的完全图 Kn 不存在这样的欧拉回路，使得该欧拉回路的最短子循环长度等于 n - 2。

下面来看看这个定理的证明过程：
1. 假设存在满足条件的欧拉回路 ：假定存在 Kn（n 为奇数且 n ≥ 15）的欧拉回路 C 满足条件 B′。固定 C 上的一个位置 p。
2. 定义相关整数 ：对于 i ∈ {0, 1, …, 10}，设 x(i) 为整数 (p + i) - N⁻¹C(p + i) - (n - 2)，y(i) 为整数 NC(p + i) - (p + i) - (n - 2)。可以注意到，对于任意 i ∈ {0, 2, …, 10}，都有 0 ≤ x(i) ≤ 5 和 0 ≤ y(i) ≤ 5 成立。
3. 定义不同的数量 ：
- M(X, Y) 是 {2, 3, …, 8} 中使得 C(p + i)C(p + i + 1) 为负边的位置 i 的数量。
- M′(X, Y) 是 {2, 3, …, 8} 中使得 C(p + i)C(p + i - 1) 为负边的位置 i 的数