15、小波、滤波器组与傅里叶变换的深入研究

小波、滤波器组与傅里叶变换的深入研究

1. 小波基的深入探讨

在数学精确性的要求下，设 (x(n) \in l^2)（即 (\sum_{n} |x(n)|^2) 是有限的）。若构成图 6.26 树结构的两通道滤波器组 ({G_a(Z), H_a(Z), G_s(Z), H_s(Z)}) 是仿酉的，那么 ({\eta_{km}(n)}) 是 (l^2) 的一组标准正交基。标准正交性意味着：
(\sum_{n = -\infty}^{\infty} \eta_{k_1m_1}(n) \eta_{k_2m_2}^*(n) = \delta(k_1 - k_2) \delta(m_1 - m_2))

这里的基函数（序列）并非源自单个函数，而是由有限个滤波器 ({f_k(n)}) 通过特定形式的时移得到。而小波基 ({2^{k/2} \psi(2^k t - n)}) 则是由单个小波函数 (\psi(t)) 推导而来。我们称 ({\eta_{km}(n)}) 是 (l^2) 序列空间的一种滤波器组类型的基。

2. 小波、滤波器组与短时傅里叶变换的对比

我们已经对小波变换（WT）和短时傅里叶变换（STFT）有了定性的了解，也熟悉时频表示和数字滤波器组。现在是时候填补一些重要细节，进行更定量的分析了。

STFT 存在一些从定义上不那么明显的技术限制，而小波变换则没有这些问题。例如，如果使用 STFT 来获取 (L^2) 信号的标准正交基，窗口函数 (v(t)) 的时频均方根持续时间应满足 (D_t D_f = \infty)，这意味着时间或频率分辨率很差（定理 6.5）。不过，如果 STFT 系统的时频采样积 (W_s T_f) 足够小以允