21、非平面排列下的聚类图绘制与图的度量维度计算

非平面排列下的聚类图绘制与图的度量维度计算

1. 非平面排列下的聚类图绘制

在图的绘制领域，我们关注非平面排列下的DC框架绘制问题。给定一个平面聚类图 $C = (G, V)$、一个非平面的磁盘排列 $DC$ 以及图 $G$ 的一个 $DC$ 框架嵌入 $\psi$，我们要探讨是否存在一个与 $\psi$ 和 $DC$ 同胚的 $DC$ 框架直线绘制 $\Gamma$。

• 问题背景与限制
  • 若磁盘允许重叠且图 $G$ 是磁盘的交集图，该问题已知是NP困难的。因此，我们要求磁盘不重叠，但允许磁盘 - 管道相交。
  • 之前研究表明，将问题限制在细接触矩形而非磁盘时是NP困难的。我们进一步强化这一结果，证明当矩形为轴对齐正方形且不允许接触时，问题仍然是NP困难的。

• 相关概念

  • 障碍物 ：管道 $p_{ij}$ 的障碍物是与 $p_{ij}$ 相交的磁盘 $d_k$（$i, j \neq k$），管道 $p_{ij}$ 的障碍物数量就是其障碍物个数。磁盘排列 $DC$ 的障碍物数量是所有满足 $V_i \times V_j \cap E \neq \varnothing$ 的管道 $p_{ij}$ 的最大障碍物数量。
  • 调节器 ：调节器小工具限制位于正方形 $B$ 内部的顶点 $v$ 的可行放置位置。通过两个半平面 $h_1$ 和 $h_2$，其支撑线交点 $q$ 位于