19、(k, p)-平面性：混合平面性的一种松弛

(k, p)-平面性：混合平面性的一种松弛

1. (k, p)-平面表示

为了证明当 ( p < k ) 时边界是紧的，我们描述一个 ((k, p)) - 平面表示 (\Gamma_{k,p})。它有 ( N = \frac{n}{k} ) 个簇，以及 ((kp + 3)N - 6) 条簇间边。对于任意满足 ( p < k ) 的正整数对 ( p ) 和 ( k )，以及任意 ( N > 2 )，(\Gamma_{k,p}) 都是可行的。

(\Gamma_{k,p}) 有 ( N ) 个簇，每个簇有 ( k ) 个顶点，因此有 ( kp ) 个端口。设 ( R_1 ) 和 ( R_2 ) 是两个簇区域，如果它们通过 ( kp + 1 ) 条边相连，我们称 ( R_1 ) 和 ( R_2 ) 是 ( kp ) - 相连的。具体来说，( R_1 )（称为 ( kp ) - 连接的小端）通过 ( p + 1 ) 个连续端口连接，前 ( p ) 个端口各有 ( k ) 条关联边，最后一个端口有一条额外的边；( R_2 )（称为 ( kp ) - 连接的大端）通过 ( p(k - 1) + 1 ) 个连续端口连接，每个端口连接一到两条边。

由于大端使用 ( p(k - 1) + 1 ) 个端口，小端使用 ( p + 1 ) 个端口，且两端可以共享两个端口，每个簇区域可以是一个 ( kp ) - 连接的小端和另一个 ( kp ) - 连接的大端。这样，我们可以创建一个由 ( N ) 个簇组成的循环。在得到的表示中，有两个度数为 ( N ) 的面：一个是外面，另一个在循环内部。通过用 ( N - 3 ) 条边对这两个面进行三角剖分，我们得到 ((k, p)) - 表示 (\G