18、量子熵：原理、性质与应用解析

量子熵：原理、性质与应用解析

1. 量子相对熵的表达式

当假设 $im(P) \subseteq im(Q)$ 时，对于量子相对熵 $D(P \parallel Q)$ 有具体的表达式。设 $n = dim(X)$，$P$ 和 $Q$ 的谱分解分别为：
$P = \sum_{j=1}^{n} \lambda_j(P) x_jx_j^ $
$Q = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k(Q) y_ky_k^ $

设 $r = rank(P)$ 且 $s = rank(Q)$，则 $D(P \parallel Q)$ 可表示为：
$D(P \parallel Q) = \sum_{j=1}^{r} \sum_{k=1}^{s} |\langle x_j, y_k \rangle|^2 \lambda_j(P) [\log(\lambda_j(P)) - \log(\lambda_k(Q))]$

另一种对所有 $P$ 和 $Q$ 都有效的表达式为：
$D(P \parallel Q) = \frac{1}{\ln(2)} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \theta (|\langle x_j, y_k \rangle|^2\lambda_j(P), |\langle x_j, y_k \rangle|^2\lambda_k(Q))$

2. 条件冯·诺依曼熵与量子互信息

条件冯·诺依曼熵和量子互信息的定义与条件香农熵和互信息类似。对于两个寄存器 $X$ 和 $Y$，条件冯·诺依曼熵 $H(X|Y)$ 定义为：
$H(X|Y) = H