26、量子相对熵与量子熵不等式解析

量子相对熵与量子熵不等式解析

1. 量子相对熵基础概念

• 核与支撑的定义 ：对于算子 (A \in L(H, H’))，其核定义为 (ker(A) \equiv {|\psi\rangle \in H : A|\psi\rangle = 0})，支撑是与核正交的 (H) 的子空间，即 (supp(A) \equiv {|\psi\rangle \in H : A|\psi\rangle \neq 0})。若 (A) 是厄米特算子且有谱分解 (A = \sum_{i:a_i\neq0} a_i|i\rangle\langle i|)，则 (supp(A) = span{|i\rangle : a_i \neq 0})，投影到 (A) 的支撑上记为 (\Pi_A \equiv \sum_{i:a_i\neq0} |i\rangle\langle i|)。
• 量子相对熵的定义 ：密度算子 (\rho \in D(H)) 和半正定算子 (\sigma \in L(H)) 之间的量子相对熵 (D(\rho|\sigma)) 定义为 (D(\rho|\sigma) \equiv Tr{\rho [\log \rho - \log \sigma]})，前提是满足支撑条件 (supp(\rho) \subseteq supp(\sigma))，否则定义为 (+\infty)。该定义与经典相对熵定义一致，且是量子假设检验中有意义的量子信息处理任务的答案，因此被选为量子相对熵的定义。虽然它可直观看作量子态之间的距离度量，但不满足数学上严格的距离度量条件（非对称且不满足三角不等式）。

2. 量子相