1、量子信息理论中的数学基础

量子信息理论中的数学基础

量子信息理论在近年来得到了迅猛的发展，其涉及到众多复杂的数学概念和理论。对于想要深入研究量子信息和计算的研究生和研究人员来说，掌握相关的数学基础是至关重要的。下面将为大家介绍量子信息理论中常用的一些数学概念。

线性代数基础

量子信息理论在很大程度上依赖于有限维空间中的线性代数。以下是与量子信息理论最相关的线性代数方面的概述。

复欧几里得空间

在量子信息理论中，复欧几里得空间的概念贯穿始终。每个离散且有限的系统都与一个复欧几里得空间相关联，系统的状态和测量等基本概念都可以用线性代数的术语来表示。

• 定义 ：字母表是一个有限且非空的集合，其元素可视为符号。对于任意字母表 Σ，用 CΣ 表示从 Σ 到复数 C 的所有函数的集合。当按照以下标准方式定义加法和标量乘法时，CΣ 构成一个维数为 |Σ| 的复向量空间，这样定义的向量空间称为复欧几里得空间。
  • 加法 ：对于向量 u, v ∈ CΣ，向量 u + v ∈ CΣ 定义为 (u + v)(a) = u(a) + v(a)，其中 a ∈ Σ。
  • 标量乘法 ：对于向量 u ∈ CΣ 和标量 α ∈ C，向量 αu ∈ CΣ 定义为 (αu)(a) = αu(a)，其中 a ∈ Σ。
• 表示方式 ：当 n 为正整数时，通常用 Cn 代替 C{1,…,n}，并且可以将向量 u ∈ Cn 视为 n 元组 (α1