本文深入探讨了量子力学基础，包括量子状态空间、量子演化、测量和复合系统。详细介绍了量子比特（qubits）及其状态，如叠加态和测量原理。进一步讲解了量子逻辑门，如Pauli门和Hadamard门。此外，还涵盖了量子测量的贝尔态、量子密钥分发（QKD）以及量子比特承诺和量子秘密共享协议（如KKI协议），强调了它们在信息安全中的应用。
1 量子力学基础
1.1 什么是量子力学？
量子力学是针对物理理论的构建提出的一个数学框架或者规则的集合.
Quantum mechanics is a mathematical framework or set of rules for the construction of physical theories.
1.2 量子力学的结构
- 描述一个封闭系统的量子状态：状态向量和状态空间(Hilbert space)
- 描述量子状态随时间的变换：酉变换(Unitary transformation)
- 描述对量子系统所进行的测量：投影测量(Measurement)
- 描述一个复合系统的量子状态：张量积(Tensor product of components)
1.2.1 状态空间
任意一个量子系统都有一个复内积空间(希尔伯特空间)作为其状态空间. 封闭量子系统的状态是状态空间中的一个单位长向量.
量子比特(quantum bit, qubit)
其状态空间为二维复内积空间 C 2 C^2 C2: α ∣ 0 ⟩ + β ∣ 1 ⟩ ≡ ( α β ) \alpha |0 \rangle + \beta|1\rangle\equiv\dbinom{\alpha}{\beta} α∣0⟩+β∣1⟩≡(βα)
基向量: ∣ 0 ⟩ = ( 1 0 ) , ∣ 1 ⟩ = ( 0 1 ) |0\rangle=\dbinom{1}{0}, |1\rangle=\dbinom{0}{1} ∣0⟩=(01),∣1⟩=(10)
∣ α ∣ 2 + ∣ β ∣ 2 = 1 |\alpha|^2+|\beta|^2=1 ∣α∣2+∣β∣2=1
一个量子比特可以处于 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩ 和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩ 的叠加态(superposition)
∣ ψ ⟩ = ( α β ) |\psi\rangle=\dbinom{\alpha}{\beta} ∣ψ⟩=(βα)
量子比特的物理模型
用原子的能级态(Energy states)表示:
基态: ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩
激发态: ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩
叠加态: ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) / 2 (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2} (∣0⟩+∣1⟩)/2 (叠加态是一种确定的状态)
1.2.2 状态演化
一个封闭量子系统状态随时间的演化可以描述为一个酉(Unitary)变换: ∣ ψ ′ ⟩ = U ∣ ψ ⟩ |\psi^\prime\rangle=U|\psi\rangle ∣ψ′⟩=U∣ψ⟩, U ( t 1 , t 0 ) U(t_1,t_0) U(t1,t0)是只取决于时刻 t 1 t_1 t1 和 t 0 t_0 t0 的酉变换: ψ ( t 1 ) = U ( t 1 , t 0 ) ∣ ψ ( t 0 ) ⟩ \psi(t_1)=U(t_1,t_0)|\psi(t_0)\rangle ψ(t1)=U(t1,t0)∣ψ(t0)⟩
酉变换(Unitary transformations)
保持向量长度不变的线性变换. U U † = I UU^\dagger=I UU†=I, I I I 为单位算子, U † U^\dagger U† 为 U U U 的共轭转置
量子逻辑门
酉变换是可逆的, 这是量子逻辑门的一大特点.
单量子比特门
The unitarity constraint is the only constraint on quantum gates; any unitary matrix specifies a valid quantum gate.
Pauli门
I = [ 1 0 0 1 ] , X = [ 0 1 1 0 ] , Y = [ 0 − i i 0 ] , Z = [ 1 0 0 − 1 ] I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix},X=\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix},Y=\begin{bmatrix}0 & -i \\i & 0\end{bmatrix},Z=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & -1\end{bmatrix} I=[1001],X=[0110],Y=[0i−i0],Z=[100−1]
Hadamard门
H ∣ 0 ⟩ = ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ 2 , H ∣ 1 ⟩ = ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ 2 , H = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] H|0\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}},H|1\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}},H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & -1\end{bmatrix} H∣0⟩=2∣0⟩+∣1⟩,H∣1⟩=2∣0⟩−∣1⟩,H=21[111−1]
H 2 = I , H = ( X + Z ) / ( 2 ) H^2=I, H=(X+Z)/\sqrt(2) H2=I,H=(X+Z)/(2)
H X H = Z , H Z H = X , H Y H = − Y HXH=Z, HZH=X, HYH=-Y HXH=Z,HZH=X,HYH=−Y
双量子比特门
控制非门(controlled-NOT, CNOT)
两个输入qubit, 控制量子位(control qubit) 和目标量子位(target qubit), 如果控制位是0, 目标位保持不变; 如果控制位是1, 目标位反转.
∣ 00 ⟩ → ∣ 00 ⟩ , ∣ 01 ⟩ → ∣ 01 ⟩ |00\rangle\to|00\rangle, |01\rangle\to|01\rangle ∣00⟩→∣00⟩,∣01⟩→∣01⟩
∣ 10 ⟩ → ∣ 11 ⟩ , ∣ 11 ⟩ → ∣ 10 ⟩ |10\rangle\to|11\rangle, |11\rangle\to|10\rangle ∣10⟩→∣11⟩,∣11⟩
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