372. 棋盘覆盖（匈牙利算法，二分图最大匹配）

活动 - AcWing

给定一个 N 行 N 列的棋盘，已知某些格子禁止放置。

求最多能往棋盘上放多少块的长度为 2、宽度为 1 的骨牌，骨牌的边界与格线重合（骨牌占用两个格子），并且任意两张骨牌都不重叠。

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 t，其中 t 为禁止放置的格子的数量。

接下来 t 行每行包含两个整数 x 和 y，表示位于第 x 行第 y 列的格子禁止放置，行列数从 1 开始。

输出格式

输出一个整数，表示结果。

数据范围

1≤N≤100
0≤t≤100

输入样例：

8 0

输出样例：

32

解析： 

这道题的范围是100，如果使用之前某道题的状态压缩的 类似做法，就会有2^100的复杂度，会超时。 

性质：每张骨牌必须放在相邻的两个格子里。因此，可以将相邻两个格子看成是一条边，格子看成是点，这样问题就变成了我们最多可以取多少条边，且边之间没有公共点，等价于最大匹配问题。 

匈牙利算法处理最大匹配问题的前提是图是二分图，因此需要判断一下图是不是二分图： 

使用染色法判断可以知道任何一个矩形棋盘都能被二染色（相邻格子之间颜色不同），因此此图一定是个二分图。 

我们可以将这个二分图的节点分为两类：偶点（横纵坐标相加为偶数）和奇点（横纵坐标相加为奇数）。 

最终，题目骨牌的最大数量就是最大匹配数量。 

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#include<cmath>
#include<ctime>
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#include<stack>
#include<queue>
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#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e2+5, M = 2e5 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N], st[N][N];
PII match[N][N];
int dx[4] = { 0,1,-1,0 }, dy[4] = { 1,0,0,-1 };

int find(int x, int y) {
	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
		if (a && a <= n && b && b <= n && !g[a][b] && !st[a][b]) {
			st[a][b] = 1;
			PII t = match[a][b];
			if (t.first == -1 || find(t.first, t.second)) {
				match[a][b] = { x,y };
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1, a, b; i <= m; i++) {
		cin >> a >> b;
		g[a][b] = 1;
	}
	memset(match, -1, sizeof match);
	int ret = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if ((i + j) % 2 && !g[i][j]) {
				memset(st, 0, sizeof st);
				if (find(i, j))ret++;
			}
		}
	}
	cout << ret << endl;
	return 0;
}