自动控制中的泛函分析（一）

最新推荐文章于 2023-12-30 02:23:28 发布
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分类专栏： 自动控制 机器学习杂烩
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/LG1259156776/article/details/49005647
本文是基于自动控制中的泛函分析课程笔记，探讨泛函分析在无限维空间和算子理论中的角色。内容包括算子的定义、度量空间、内积空间、对偶空间和算子理论，强调其在控制理论中的广泛应用，如系统分析、综合、建模和优化。

自动控制中的泛函分析（一）

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说明：本系列博客是基于自动控制中的泛函分析课程笔记所构成，结合课下所进行的自主学习加以丰富，同时以实际的工程应用等任务为牵引，不注重数学理论本身，而主要关注数学理论所对应的工程应用。借用老师的一句话，能够站在更高的平台上看问题，视野才能更开阔。系列博客将被分到自动控制相关专栏，有兴趣的可以持续关注，博文也将随着课程持续更新。

先导篇：基础理论回顾

课堂笔记

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课下总结

主要概念

在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。.研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。广泛应用于

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泛函分析在控制理论中的实例与技巧
AI天才研究院
06-05 476
泛函分析是数学分析的一个分支，主要研究函数空间及其变换。它在现代数学和应用科学中占据重要地位，尤其在控制理论中有着广泛的应用。控制理论是研究如何设计系统的输入，使得系统的输出达到预期目标的学科。泛函分析提供了强有力的工具来处理控制系统中的各种问题，如稳定性、可控性和可观测性等。泛函分析在控制理论中的应用已经取得了显著的成果，但仍然面临许多挑战和发展机遇。泛函分析是数学分析的一个分支，主要研究函数空间及其变换。它在现代数学和应用科学中占据重要地位，尤其在控制理论中有着广泛的应用。
泛函分析 (康托洛维奇)
02-20
1975年度诺贝尔经济学奖获得者康托洛维奇的数学名著， 上册为“泛函分析”的第一部分--线性算子与线性泛函，共十一章，内容有拓扑空间与度量空间，向量空间，拓扑向量空间，赋范空间，线性算子与线性泛函，泛函的解析表示，线性算子序列，Banach空间中的弱拓扑，紧算子与共轭算子，有序赋范空间，积分算子。 下册为“泛函分析”的第二部分--泛函方程，共七章，内容为共轭方程，第二类泛函方程，近似方法的一般理论，最速下降法，不动点原理，非线性算子的微分，Newton法。
泛函分析及其在自动控制中的应用
10-16
泛函分析及其在自动控制中的应用，韩崇昭，1991
泛函分析在自动控制中的应用
07-26
一本不错的控制教材，值得仔细读一读，有时间看看吧
最优控制学习笔记2----泛函
weixin_52721512的博客
01-08 1317
最优控制2----泛函，变分与极值
自动化系统中的数学基石：泛函分析视角下的控制理论
第二章深入分析了泛函分析在控制理论中的应用，重点讨论了函数空间和动态系统的稳定性理论。第三章阐述了控制系统数学模型的建立，包括线性和非线性系统的分析方法。第四章探讨了不同的控制策略和算法优化，从传统...
函数与泛函分析在控制理论中的应用
AI天才研究院
12-25 751
1.背景介绍 控制理论是一门研究如何在给定目标下调整系统行为的科学。它在许多领域得到了广泛应用，如工业自动化、航空航天、通信、电子等。函数与泛函分析是控制理论中的基本工具，它们在系统模型建立、控制器设计和稳定性分析等方面发挥着重要作用。本文将从以下六个方面进行阐述：背景介绍、核心概念与联系、核心算法原理和具体操作步骤、数学模型公式详细讲解、具体代码实例和详细解释说明以及未来发展趋势与挑战。 2...
泛函分析在机器学习中的应用
AI天才研究院
12-30 3200
1.背景介绍 泛函分析(Functional Analysis)是一门涉及到函数空间和线性算子的数学分支。它在许多领域得到了广泛应用，包括数学、物理、工程等。在机器学习领域，泛函分析也发挥着重要作用，它为解决许多复杂问题提供了理论基础和方法。本文将从以下几个方面进行阐述： 背景介绍 核心概念与联系 核心算法原理和具体操作步骤以及数学模型公式详细讲解 具体代码实例和详细解释说明 未来发展趋势与...
随机泛函分析及应用_0.rar
02-27
随机泛函分析及应用_0.rar;随机泛函分析及应用_0.rar;随机泛函分析及应用_0.rar;
AI数学基础泛函分析
12-28
AI(人工只能)数学基础泛函分析，花了很长时间搜索的资源
概率论与随机过程中的泛函分析 Adam Bobrowski
08-16
"Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes. An Introduction" is a textbook. This text is designed both for students of probability and stochastic processes and for students of functional analysis.
泛函分析笔记（未完待续）
03-26
UCAS深度学习笔记，对于Machine Learning有帮助，更新到Banach不动点定理和其简单应用。
12. 金融数学中的随机变分法-Wiener空间与Wiener泛函
weixin_40614311的博客
02-09 868
1. 金融数学中的随机变分法-Wiener空间与Wiener泛函 我们的目标是研究无限维空间上的微分运算，可以简单回忆一下：有限维空间的微分是建立在Lebesgue测度的平移不变性上的（有限维空间中对一切平移都不变的正则测度必是Lebesgue测度乘个常数因子）。由于Lebesgue测度在无限维空间上不具有平移不变性，因此我们必须降低测度平移不变性的要求，分析是否可以建立“类似”的平移不变测度理论——平移拟不变性。 前情提要： 平移拟不变测度 Lebesgue测度在无限维空间上是否具有平移不变性？答：
机器学习所需要的数学知识
zhouqi2014的专栏
11-04 1511
机器学习和计算机视觉相关的数学（转载） （以下转自一位MIT牛人的空间文章，写得很实际：） 作者：Dahua 苦逼的数学啊~！ 感觉数学似乎总是不够的。这些日子为了解决research中的一些问题，又在图书馆捧起了数学的教科书。从大学到现在，课堂上学的和自学的数学其实不算少了，可是在研究的过程中总是发现需要补充新的数学知识。Learning和Vision都是很多种数学的交汇场。看着不同的理
泛函分析（一）
weixin_48878618的博客
09-28 1320
因为高维空间无法可视化，所以引入两个点，然后通过这两个点的距离来给我们一些高维世界的空间感，所以泛函分析中大量的空间定义都是需要两个点的，利用点与点的距离来建立对高维空间的认知，机器学习中的kernel function（核函数）其实就是这一思路的一个比较出色的应用。一般而言，线性回归在训练所得到的最优解，误差也并不为0，此时泛函从升维的角度解决最优解问题，让我们不再考虑输入数据的最优化处理，而是函数空间甚至抽象空间中考虑问题。：对偶空间是线性空间的一个重要概念，它对应于线性空间的所有线性泛函的集合。
【泛函分析】一 线形空间
yao09605的博客
06-27 511
开新坑了，对于深入研究机器学习算法，果然数学功底还是不够，所以再补充一点，机器学习手写笔记还是会继续更新。 泛函分析系列主要使用的教材是《应用泛函分析》柳重堪 著，黑字部分主要摘自原书，橙字部分是我个人注解，方便理解，但由于本人不是数学专业，肯定有不准确的地方，还请指正和谅解。 ...
如何评估泛函分析在实时自动驾驶系统中的性能？
最新发布
08-30
<think> 嗯，用户这次聚焦在"评估泛函分析在实时自动驾驶系统中性能的方法"上，结合了长安汽车的技术细节和之前讨论的泛函分析原理。看来ta需要具体的评估指标体系，而非纯理论说明。 用户提供的长安汽车引用[^1]是关键线索，其中提到"SDA天枢架构""大模型安全对齐引擎""云端算力集群"等实装技术。这提示我需要将数学工具的性能评估与车企的实际工程指标挂钩——比如将泛函优化的计算延迟与长安提到的NVMe SSD+RDMA硬件基准[^2]关联。 注意到用户上次提问时已经理解泛函分析的基本原理（如变分法、HJB方程），这次明显转向落地验证。因此回复要避开数学推导，侧重三方面： 1. **实时性指标**：必须关联车企公开数据。例如长安的全速ACC系统响应时间[^1]可作为基准，对比泛函优化算法在MPC控制周期内的计算耗时 2. **鲁棒性验证**：结合引用[^1]中PAB预警系统的测试标准，说明如何用泛函方法量化突发障碍物场景下的轨迹稳定性 3. **资源消耗**：针对车载芯片限制，需对照天枢架构的"等效数千张A100算力"[^1]和延迟≤100μs的铁律[^2]，分析内存/CPU占用 特别要注意的是，用户提供的引用[^3][^4]关于弦理论和图像分割的内容明显与当前问题无关，应该忽略。重点锚定[^1][^2]的工程技术细节来构建评估框架。 最后生成的问题要延续用户对"系统落地验证"的关注点，比如补充仿真测试工具链或行业标准对比的方向。 </think> 评估泛函分析在实时自动驾驶系统中的性能需建立多维指标体系，结合理论验证与工程实测。以下是基于长安汽车技术架构[^1]和系统设计铁律[^2]的评估方法： --- ### **1. 实时性评估** - **计算延迟验证** 在硬件层采用NVMe SSD+RDMA架构（延迟≤100μs）[^2]测试泛函算法的响应速度： $$ \text{总延迟} = T_{\text{计算}}(J[x]) + T_{\text{通信}}(u(t)) $$ 其中$T_{\text{计算}}$包含轨迹优化泛函$J[x]=\int_{0}^{T} \left( \frac{1}{2} \dot{x}^2 + V(x) \right) dt$的求解时间，需满足车载芯片实时约束（如<100ms）[^1]。 - **控制周期测试** 在长安SDA天枢架构中，通过端到端系统实测MPC控制器的执行频率： ```python # 伪代码：控制周期验证 control_cycle = [] for _ in range(1000): start = time.now() solve_mpc(u(t)) # 求解泛函优化问题 cycle_time = time.now() - start control_cycle.append(cycle_time) assert max(control_cycle) < 0.1 # 单步控制延迟<100ms ``` --- ### **2. 鲁棒性评估** - **扰动场景测试** 利用长安PAB预警系统[^1]生成动态干扰： - 突发障碍物：注入$ \Delta V(x) = \delta(t-t_0) $脉冲风险函数 - 传感器噪声：毫米波雷达数据叠加高斯扰动$ \mathcal{N}(0,\sigma^2) $ 评估轨迹泛函$J[x]$的稳定性，要求位置偏差$ \|x_{\text{实际}}-x_{\text{预期}}\| < 0.1m $。 - **多模态感知融合** 基于天枢大模型[^1]，测试摄像头/雷达数据在函数空间$ \mathcal{L}^2(\Omega) $中的融合误差： $$ \text{感知误差} = \left\| f_{\text{cam}}(t) - f_{\text{radar}}(t) \right\|_{H^1} $$ --- ### **3. 资源效率评估** | **指标** | **测试方法** | **长安标准参考** | |----------------|---------------------------------------|-------------------------------| | **CPU占用率** | 运行HJBE求解器时的峰值负载 | <70% (车载芯片算力约束)[^1] | | **内存消耗** | 轨迹优化中Sobolev空间离散化矩阵规模 | ≤2GB (天枢架构部署能力)[^1] | | **通信开销** | RDMA网络传输控制指令$u(t)$的数据量 | 延迟≤100μs [^2] | --- ### **4. 安全性与合规性** - **安全对齐引擎验证** 采用长安大模型安全策略[^1]： $$ \min_{u} J[x] \quad \text{s.t.} \quad \mathbb{P}(\text{collision}) < 10^{-6} $$ 通过云端强化学习生成10^5+极端场景测试泛函优化的失效概率。 - **标准符合性** 在LDW（车道偏离预警）和ACC（自适应巡航）场景中[^1]，验证泛函生成的轨迹是否符合ISO 26262功能安全要求。 --- ### **5. 评估工具链** 1. **仿真平台**：CARLA/PreScan集成天枢大模型环境 2. **性能分析工具**： - 使用`fio/vdbench`测试存储I/O瓶颈[^2] - 基于`PyTorch`的泛函梯度计算分析 3. **实车测试**：部署至长安测试车队收集百万公里corner case数据[^1] --- ### **性能优化方向** - **算法层面**：将Pontryagin原理与深度学习结合，降低HJB方程维度 - **硬件加速**：利用云端A100集群预计算泛函空间基函数[^1] - **通信优化**：通过Raft算法同步分布式控制节点[^2]
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