复变函数的指数函数

乘幂函数：复变函数中的核心概念

乘幂函数是复变函数中一个非常基本但又极其重要的函数，它揭示了实数域中看不到的许多深刻性质。

1. 定义

复变函数中的乘幂函数 $w=z^c$（其中 $z,c\in \mathbb{C}$，且 $z\ne 0$）是通过指数函数和对数函数来定义的：

$$z^c=e^{c\ln z}$$

这里的关键在于，复对数 $\ln z$ 是一个多值函数：

$$\ln z=\ln |z|+i\arg z=\ln |z|+i(\mathrm{Arg}z+2k\pi i),k\in \mathbb{Z}$$

其中 $\mathrm{Arg}z$ 是 $z$ 的主辐角，通常取 $ (-\pi, \pi]$。

因此，乘幂函数的完整定义是：

$$z^c=e^{c(\ln |z|+i\mathrm{Arg}z+i2k\pi )}=e^{c(\ln |z|+i\mathrm{Arg}z)}\cdot e^{i2k\pi c},k\in \mathbb{Z}$$

2. 核心性质与要点

我们可以根据指数 $c$ 的类型，将乘幂函数的性质分为几种情况。这是理解该函数最重要的切入点。

情况一：$c=n$（$n$ 为正整数）

此时，$ z^n $ 是一个单值的整函数（在整个复平面上解析）。

性质：

• 单值且解析
• 是实函数中幂函数的自然推广
• $f(z)=z^n$ 是一个 $n$ 对 1 的映射（除了 $z=0$）。例如，$z^2$ 将 $z$ 和 $-z$ 映射到同一个点

情况二：$c=1/n$（$n$ 为正整数）

此时，$z^{1/n}$ 就是复数的 $n$ 次方根函数。

性质：

• 是一个 n-值函数。对于每个 $z\ne 0$，它有 $n$ 个不同的值
• 这 $n$ 个值由 $k=0,1,2,...,n-1$ 给出：
  $$z^{1/n}=\sqrt[n]{|z|}{e}^{i(\mathrm{Arg}z+2k\pi )/n}$$
• 在几何上，这 $n$ 个值在复平面上位于以原点为圆心的同一个圆周上，构成一个正 $n$ 边形的顶点

情况三：$c$ 为有理数（$c=p/q$, $p,q$ 互质）

此时，$z^{p/q}$ 是一个 q-值函数。

性质：

• 多值性由分母 $q$ 决定。它有 $q$ 个不同的分支
• 例如，$z^{2/3}=(z^{1/3}{)}^2$，由于 $z^{1/3}$ 有 3 个值，平方后，这 3 个值可能仍然是 3 个不同的值（需要检查是否重合）

情况四：$c$ 为无理数或一般复数（$c=a+bi$）

这是最一般的情况，也是多值性体现得最明显的情况。

性质：

• 无穷多值：因为定义中的因子 $ e^{i 2k\pi c} $ 对于不同的整数 $k$ 会给出无穷多个不同的值
  $$e^{i2k\pi c}=e^{i2k\pi (a+bi)}=e^{-2k\pi b}\cdot e^{i2k\pi a}$$
• 模不同：当 $b\ne 0$（即 $c$ 不是实数）时，因子 $ e^{-2k\pi b} $ 的模不等于 1。这意味着这无穷多个值不仅辐角不同，模长也不同。它们分布在一条对数螺线上
• 辐角不同：当 $b=0$（即 $c$ 为实数）但 $c$ 是无理数时，因子
  $e^{i2k\pi a}$ 的辐角 $2k\pi a$ 模 $2\pi$ 后，对于不同的 $k$ 永远不会重复，产生无穷多个不同的值，但这些值的模长都相同（都位于一个圆周上）

3. 分支与单值化

由于多值性在分析和计算中很不方便，我们通常通过指定分支来将其变为单值解析函数。

• 分支切割：最常见的做法是引入一条从原点 $z=0$ 延伸到无穷远的射线（通常是负实轴，即 $ (-\infty, 0] $）作为分支切割线
• 主支：在切除了分支切割线的复平面上，我们固定辐角为主辐角 $\mathrm{Arg}z\in (-\pi ,\pi )$（对应 $k=0$）。这样得到的函数
  $$f(z)=e^{c(\ln |z|+i\mathrm{Arg}z)}$$
  称为乘幂函数的主支。它在切割后的区域上是单值且解析的

4. 与实数幂函数的差异（关键要点总结）

1. 多值性是核心：这是复变乘幂函数与实变最根本的区别。其根源在于复辐角的多值性
2. 指数运算法则的失效：在复数域中，许多在实数域成立的指数法则不再普遍成立
   • 例如，$(z^a{)}^b\ne z^{ab}$ 在复数域中通常不成立，因为两边可能是多值函数的不同分支
   • $z^a\cdot z^b\ne z^{a+b}$ 也可能因为分支选择不同而失败
3. 定义域：乘幂函数在 $z=0$ 处没有定义。对于主支，其定义域是整个复平面去掉分支切割线
4. 解析性：乘幂函数的每个单值分支在它的定义域内是解析的，其导数公式与实数类似：
   $$\frac{d}{dz}{z}^c=c{z}^{c-1}$$
   （这个公式在同一个单值分支内成立）

总结表格

指数 $c$ 的类型	多值性	关键特性
正整数 $n$	单值	整函数，$n$ 对 1 的映射
分数 $1/n$	$n$-值	$n$ 次方根，几何上呈正 $n$ 边形
有理数 $p/q$	$q$-值（通常）	多值性由分母决定
无理实数	无穷多值	所有值模相同，在单位圆上稠密
一般复数 ($b\ne 0$)	无穷多值	模和辐角都不同，值在对数螺线上