离散数学知识点总结(上半+初步整体总结）

离散数学知识体系总览

下图清晰地展示了它们之间的逻辑关系：

flowchart TD
    subgraph A [模块一：数学基础]
        direction LR
        A1[“命题逻辑”] --> A2[“谓词逻辑与推理规则”] --> A3[“证明导论”]
    end

    subgraph B [模块二：图论核心]
        direction LR
        B1[“图的术语”] --> B2[“同构与连通性”] --> B3[“欧拉图与哈密顿图”]
    end

    subgraph C [模块三：图论进阶]
        direction LR
        C1[“平面图”] --> C2[“填色问题”]
    end

    A --> B --> C

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各模块核心内容精要

模块一：数学基础 (文件1-3)

1. 命题逻辑

   • 核心：研究命题及其逻辑关系的真假性。
   • 关键概念：命题、逻辑运算符（¬, ∧, ∨, →, ↔）、真值表、德摩根定律、逆否命题。
   • 应用：逻辑电路、系统规范说明。

2. 谓词逻辑与推理规则

   • 核心：将逻辑从命题扩展到包含变量的语句。
   • 关键概念：命题函数、量词（∀, ∃）、量词的否定与嵌套、推理规则（假言推理、析取三段论等）。
   • 意义：为数学证明提供了形式化语言和基本推理工具。

3. 证明导论

   • 核心：将逻辑规则应用于数学论证。
   • 证明方法：直接证明、反证法、归纳法、分情况证明、构造性与非构造性证明。
   • 术语：定理、引理、公理、猜想。

模块二：图论核心 (文件4-6)

4. 图的术语

   • 核心：引入图的基本定义和分类。
   • 关键概念：$图(G=(V,E))、度、握手定理、完全图(K_n)、二分图(K_{m,n})$、$匹配、霍尔婚姻定理$。

5. 同构与连通性

   • 核心：研究图的结构本质和连接强度。
   • 关键概念：图的表示（邻接表/矩阵）、图的同构、路径/通路/回路、连通图、割点/割边、点/边连通度。
   • 重要定理：任何 u-v 路径都包含一条 u-v 通路。

6. 欧拉图与哈密顿图

   • 核心：两种经典的路径遍历问题。
   • 欧拉图（遍历所有边）：
     • 判定：所有顶点度为偶数（连通）⇔ 欧拉图。
     • 应用：一笔画、中国邮递员问题。
   • 哈密顿图（遍历所有顶点）：
     • 判定：无统一简明的充要条件（NP难问题）。
     • 充分条件：狄拉克定理、欧尔定理。

模块三：图论进阶 (文件7-8)

7. 平面图

   • 核心：研究可以画在平面上而无边交叉的图。
   • 基石：欧拉公式 ( V - E + F = 2 )。
   • 判定：
     • 边数上界：$(E\le 3V-6)$。
     • 库拉图斯基定理：图是平面图当且仅当它不包含 $(K_5)$ 或 $(K_{3,3})$ 的细分。
   • 应用：电路板设计、多面体分类（柏拉图立体）。

8. 填色问题

   • 核心：为图的结构元素（面或顶点）着色，使相邻者颜色不同。
   • 四色定理：任何平面图都是4-面可填色的。
   • 顶点着色：
     • 着色数 $(\chi (G))$：所需的最少颜色数。
     • 上下界：$(\omega (G)\le \chi (G)\le 1+\Delta (G))$。
     • 贪婪算法：提供了一种着色的方法，但不一定是最优的。
     • 区间图：$(\chi (G)=\omega (G))$，是应用性很强的一类图。

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贯穿全局的核心思想与进阶路径

1. 从抽象到具体：课程从最抽象的符号逻辑（命题、谓词）出发，建立起严谨的推理框架，然后将其应用于非常直观的图论模型，最终解决如地图着色、路径规划等实际问题。
2. 从存在到构造：许多定理不仅证明了某种对象（如欧拉回路、匹配）的存在性，还提供了构造性的方法去寻找它（如弗勒里算法、匈牙利算法）。
3. 从定性到定量：对图的性质研究从定性的“是否连通”（连通性）深入到定量的“有多连通”（连通度 $(kappa(G)$,$lambda(G)$)）；从“能否着色”深入到“最少需要多少颜色”（着色数 $(\chi (G))$）。
4. “P vs. NP”的缩影：欧拉图问题存在高效的判定算法，而哈密顿图问题被相信是困难的，这直观地体现了计算复杂性理论中的核心困境。

总结：

一、数理逻辑

逻辑基本律

• 同一律：A = A
• 矛盾律：A且¬A为假
• 排中律：A或¬A为真

(一) 基本概念

1. 命题逻辑基本概念

• 命题常项、命题变项、联结词、命题公式
• 悖论：非命题
• 联结词完备集：{¬, ∨, ∧}，{与非}，{或非}
• 命题公式的表达：真值表、析取合取范式
• 可满足性问题：消解法

2. 一阶逻辑基本概念

• 个体词：常项、变项（约束、自由）、域
• 谓词：常项、变项
• 量词：∀（任意）、∃（存在）、辖域
• 一阶语言、谓词公式、解释
• 谓词公式的表达：前束范式

3. 命题逻辑和一阶逻辑的关系

• 封闭的谓词公式在任何解释下都变成命题常项
• 非封闭的谓词公式在某些解释下可以变成命题常项

(二) 等值式/算律

1. 共有的等值式

• 双重否定律、结合律、交换律、幂等律
• 分配律、吸收律、德摩根律
• 格的性质：零律、一律
• 布尔代数性质：排中律、矛盾律
• 蕴含式、等价式、逆否命题、等价否定、归谬论

2. 一阶逻辑特有的等值式

• 消去量词（2种）
• 量词否定（2种）
• 量词辖域收缩、扩张（8种）
• 量词分配（2种）

3. 一阶逻辑的置换规则

• 换谓词名（置换）
• 换约束个体名（换名）
• 换自由个体名（代替）

(三) 形式系统

1. 自然推理系统

• 命题自然推理系统
  • 推理规则：前提引入、中间结论引入、置换
  • 假言推理、附加、化简、拒取、假言三段论、析取三段论
  • 构造性二难、破坏性二难、合取引入
• 一阶逻辑自然推理系统
  • 特有的推理规则：任意+、任意-，存在+，存在-

2. 公理推理系统

• 组成：符号集、公式集（符号使用）、公理模式集、推理规则集
• 欧式几何数学体系（半形式化）
• 弗雷格公理系统（Frege’s system），仅用¬、→符号
• 卢卡西维茨公理系统（Lukasiewicz），仅用¬、→符号
• 罗素公理系统（Russell-Bernays），仅用¬、∨、→符号
• 亨廷顿公理系统（Huntington axiomatic system）
• ZFC公理系统

二、集合论

1. 基本概念

• 集合（相异、无序）、隶属、包含、子集、幂集、空集、全集
• 交，并，广义并，广义交、补，相对补（差），对称差
• 集合的基数、Venn图、容斥原理
• 集合恒等式

2. 关系

• 表达：集合、矩阵、关系图
• 性质：自反、对称、传递、反自反、反对称、闭包
• 等价关系：饼状图，划分，商集
• 偏序关系：哈斯图，最、极，上、下界

3. 映射/函数

• 定义域、值域、像、完全原像、单、满、双、复合、逆
• 集合计数：势、康托定理

三、代数系统

• 运算：映射到自身的映射
• 六律四元：结合、交换、幂等、消去；分配、吸收；单位元、逆元、零元，补元
• 代数系统：<集合，一元或二元运算>，类型、种（积代数，子代数）、态、结构

群

• 定义：封结幺逆（封闭性、结合律、单位元、逆元）
• 直观：对称（二维图形，多项式）- 保持运算的一一变换的全体所构成的群
• 子群、判定、正规子群（内自同构不变）、中心（自同构不变）
• 商群：<合同划分，[a]×[b] = [ab]>
• 同态：核，像
• 同态定理：单-甲是乙的一个子群，满-甲的一个商群是乙，非单非满-甲的一个商群是乙的一个子群，双-甲就是乙
• 有限群：拉格朗日定理
• 生成元集

环

• 加法交换群、乘法半群，乘关于加分配
• 例子：<矩阵，+，*>

域

• 加法交换群、乘法交换群（零元可以没有逆元，且无零因子）
• 例子：<有理数，+，*>

格

• 结合律、交换律、吸收率
• <偏序集，交，并>

布尔代数

• 有补（任意元素存在交为0，并为1的补元）、分配（不含五角格、钻石格）格
• <幂集，交，并>

四、图论

1. 分类

• 无向图或有向图，标定图或非标定图

2. 基本概念

• 点、边、邻域（前驱、后继）、关联边、端点、相邻边、割、桥

3. 进阶概念

• 度，握手定理
• 度数列，HAVEL定理：可图化、可简单图化
• 高级概念：k-core，k-truss，k-clique，k-club，p-cohesion，k-edge/vertex connected，k-shell

4. 表示

• 集合，矩阵（关联矩阵、邻接矩阵、可达矩阵）

5. 图的操作

• {增加、删除}×{点、边}，收缩边，求补，并、交、差、环和

6. 连通性

（1）基本概念

• 通路、回路、简单通路、简单回路、初级通路、初级回路

（2）连通程度

• 无向图：点连通、边连通、最小度
• 有向图：强连通图、单向连通图、弱连通图
• 最短路径/短程线：Dijkstra、Bellman-Floyd
• 关键路径：最早、最晚、缓冲时间
• r-正则图

（3）图的遍历

• 深搜、广搜

7. 特殊的图

（1）二部图

• 判定：<=> 无奇圈（证明）

（2）欧拉图和半欧拉图

• 构造方法：Fleury（不走桥）、边不重的圈的并
• 充要条件：有向图、无向图

（3）哈密顿图

• 充分条件：任意不相邻顶点度和大于等于N-1
• 必要条件：去除任意非空点集后连通分支小于等于被去除点集的基数
• 递归充要条件：若两个不相邻顶点度和大于等于N，则G和G+e要么都是哈密顿图要么都不是

（4）树

• 最小生成树：Kruskal，Prime，破圈法（管梅谷法）
• 哈夫曼树

（5）平面图

• 欧拉公式
• 充要条件：不含与K₅同胚，也不含与K₃,₃同胚的子图

8. 一种重要思想

• 扩大路径法：思想简单，需彻底掌握十道不同类型习题或定理证明应用

五、初等数论

1. 基础知识

• 欧几里得原理
• 整除：商和余数定理
• 素数、合数：充要条件、判定
• 算数基本定理（因子分解定理）：素数个数无限
• 最大公约数gcd、最小公倍数lcm：gcd×lcm=mn，列因子、列素因子分解、欧几里得算法（辗转相除法）
• 费马小定理证明、aⁿ计算、ab mod z = [(a mod z)(b mod z)] mod z证明、aⁿ mod z计算、邮资问题

2. 应用

• 均匀随机数产生
• RSA密钥：初等数论的巅峰应用（理解RSA就基本会了初等数论）