RANSAC的理解

先说最小二乘。

ok，你手头有一堆数据，比如这些蓝点：

那么我们假设它符合一个直线模型：y=ax+b，用最小二乘就可以很容易求解出未知参数a和b。最小二乘大法确实好哇，毕竟高斯用它来估计谷神星的轨道（https://math.berkeley.edu/~mgu/MA221/Ceres_Presentation.pdf；http://www.cnblogs.com/washa/p/3164212.html）。

但是，当你的数据充满了噪声时，比如下面图中的黑点，很明显中间有一条妥妥的直线，但是你也用最小二乘去解它，于是悲剧了：

很显然最小二乘失效了，这时候我们就要用RANSAC去解决它。

RANSAC的使用条件是：

1.输入是一组带污染的观测数据，其中的可信数据占了大多数；

2.有一个可以解释可信观测数据的参数化模型

RANSAC的思想是（引自wiki，汉化部分有修改）：

1. Select a random subset of the original data. Call this subset the hypothetical inliers. 从观测数据中随机选择一个子集，称之为hypothetical inliers。
2. A model is fitted to the set of hypothetical inliers.估计出适合于这些个hypothetical inliers的模型
3. All other data are then tested against the fitted model. Those points that fit the estimated model well, according to some model-specific loss function, are considered as part of the consensus set. 用这个模型测试其他的数据，根据损失函数，得到符合这个模型的点，称为一致性集合：consensus set。
4. The estimated model is reasonably good if sufficiently many points have been classified as part of the consensus set. 如果足够多的数据都被归类于一致性集合，那么说明这个估计的模型是正确的；如果这个集合中的数据太少，那么说明模型不合适，弃之，返回第一步。
5. Afterwards, the model may be improved by reestimating it using all members of the consensus set.最后，根据一致性集合中的数据（可以认为是可靠的数据了），用最小二乘的方法重新估计模型。

根据上述思想，如果不停的迭代，就会得到一个最优的模型。如下图所示：

RANSAC有什么用？

可以用于图像拼接，如果你年纪比较大，应该记得Microsoft有一款叫photosynth的产品：

怎么用RANSAC拼接呢？

图像和图像之间的关系可以用一个单应性矩阵描述，即x1=H*x2。

x1和x2就是同名点齐次坐标向量，我们可以用SIFT或SURF算子找到：

但是可以看出，虽然大部分匹配是正确的，但有一些匹配是错误，这些同名点就构成了“受污染的观测数据”，也是RANSAC的适用条件。

用RANSAC估计H的步骤如下（参考http://eric-yuan.me/ransac/）：

1. Select four feature pairs (at random) 随机找4对特征点
2. Compute homography H  计算H
3. Compute inliers where ||pi’, H pi|| < ε  (if not enough times, goto 1.) 找到符合H的inliers
4. Keep largest set of inliers  直到这个H有最多的inliers
5. Re-compute least-squares H estimate using all of the inliers 用inliers和最小二乘重新估计H

同名点齐次坐标和H的关系可以写为：

4个点对正好构成唯一解，http://eric-yuan.me/ransac/中用QR分解的方法求出H。不停迭代，直到求出最终的inliers，到第5步用最小二乘求解H时，可以用SVD分解（http://blog.youkuaiyun.com/dsbatigol/article/details/9625211）。

基于OpenCV的图像拼接的代码在这里：https://ramsrigoutham.com/tag/ransac/，随手贴上来，并感谢作者：

[cpp] view plain copy

1. #include <stdio.h>  
2. #include <iostream>  
3.    
4. #include "opencv2/core/core.hpp"  
5. #include "opencv2/features2d/features2d.hpp"  
6. #include "opencv2/highgui/highgui.hpp"  
7. #include "opencv2/nonfree/nonfree.hpp"  
8. #include "opencv2/calib3d/calib3d.hpp"  
9. #include "opencv2/imgproc/imgproc.hpp"  
10.    
11. using namespace cv;  
12.    
13. void readme();  
14.    
15. /** @function main */  
16. int main( int argc, char** argv )  
17. {  
18.  if( argc != 3 )  
19.  { readme(); return -1; }  
20.    
21. // Load the images  
22.  Mat image1= imread( argv[2] );  
23.  Mat image2= imread( argv[1] );  
24.  Mat gray_image1;  
25.  Mat gray_image2;  
26.  // Convert to Grayscale  
27.  cvtColor( image1, gray_image1, CV_RGB2GRAY );  
28.  cvtColor( image2, gray_image2, CV_RGB2GRAY );  
29.    
30. imshow("first image",image2);  
31.  imshow("second image",image1);  
32.    
33. if( !gray_image1.data || !gray_image2.data )  
34.  { std::cout<< " --(!) Error reading images " << std::endl; return -1; }  
35.    
36. //-- Step 1: Detect the keypoints using SURF Detector  
37.  int minHessian = 400;  
38.    
39. SurfFeatureDetector detector( minHessian );  
40.    
41. std::vector< KeyPoint > keypoints_object, keypoints_scene;  
42.    
43. detector.detect( gray_image1, keypoints_object );  
44.  detector.detect( gray_image2, keypoints_scene );  
45.    
46. //-- Step 2: Calculate descriptors (feature vectors)  
47.  SurfDescriptorExtractor extractor;  
48.    
49. Mat descriptors_object, descriptors_scene;  
50.    
51. extractor.compute( gray_image1, keypoints_object, descriptors_object );  
52.  extractor.compute( gray_image2, keypoints_scene, descriptors_scene );  
53.    
54. //-- Step 3: Matching descriptor vectors using FLANN matcher  
55.  FlannBasedMatcher matcher;  
56.  std::vector< DMatch > matches;  
57.  matcher.match( descriptors_object, descriptors_scene, matches );  
58.    
59. double max_dist = 0; double min_dist = 100;  
60.    
61. //-- Quick calculation of max and min distances between keypoints  
62.  for( int i = 0; i < descriptors_object.rows; i++ )  
63.  { double dist = matches[i].distance;  
64.  if( dist < min_dist ) min_dist = dist;  
65.  if( dist > max_dist ) max_dist = dist;  
66.  }  
67.    
68. printf("-- Max dist : %f \n", max_dist );  
69.  printf("-- Min dist : %f \n", min_dist );  
70.    
71. //-- Use only "good" matches (i.e. whose distance is less than 3*min_dist )  
72.  std::vector< DMatch > good_matches;  
73.    
74. for( int i = 0; i < descriptors_object.rows; i++ )  
75.  { if( matches[i].distance < 3*min_dist )  
76.  { good_matches.push_back( matches[i]); }  
77.  }  
78.  std::vector< Point2f > obj;  
79.  std::vector< Point2f > scene;  
80.    
81. for( int i = 0; i < good_matches.size(); i++ )  
82.  {  
83.  //-- Get the keypoints from the good matches  
84.  obj.push_back( keypoints_object[ good_matches[i].queryIdx ].pt );  
85.  scene.push_back( keypoints_scene[ good_matches[i].trainIdx ].pt );  
86.  }  
87.    
88. // Find the Homography Matrix  
89.  Mat H = findHomography( obj, scene, CV_RANSAC );  
90.  // Use the Homography Matrix to warp the images  
91.  cv::Mat result;  
92.  warpPerspective(image1,result,H,cv::Size(image1.cols+image2.cols,image1.rows));  
93.  cv::Mat half(result,cv::Rect(0,0,image2.cols,image2.rows));  
94.  image2.copyTo(half);  
95.  imshow( "Result", result );  
96.    
97.  waitKey(0);  
98.  return 0;  
99.  }  
100.    
101. /** @function readme */  
102.  void readme()  
103.  { std::cout << " Usage: Panorama < img1 > < img2 >" << std::endl; }  

最后提一句，RANSAC称为RANdom  SAmple Consensus，即随机采样一致算法，发表于1981：

• Martin A. Fischler & Robert C. Bolles (June 1981). "Random Sample Consensus: A Paradigm for Model Fitting with Applications to Image Analysis and Automated Cartography" (PDF).