数论基本性质证明（欧拉函数、莫比乌斯反演）

最新推荐文章于 2023-03-26 07:59:23 发布
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本文回顾了一年前学习数论及半年前补习证明的经历，通过这些学习过程，作者不仅掌握了数学的基础理论知识，还提升了逻辑思维能力。

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一年前学的数论、半年前补的证明，今日附一句歌词：

Lights will guide you home, and ignite your bones, and I will try to fix you.

一起送给OI~

莫比乌斯反演入门
mumei的博客
11-06 1113
这个算是竞赛中用到的组合数学里最多的知识点，也是比较难理解的，在被将近一个星期的折磨后总算是理解了一些。 其实莫比乌斯反演就只有两个重要的公式，而且用到的最多的也只有一个（其实都差不多），但是需要一些预备知识。 莫比乌斯函数，质数线性筛，整除分块，积性函数以及一些其他的数论知识，下面会将其中一部分重要的算法， 目录 1.莫比乌斯函数 2.莫比乌斯函数的线性筛 3.整除分块 4....
[莫比乌斯反演]莫比乌斯函数
[小吉祥物]白麟
01-26 719
μn1n1−1knp1p2p3pk0p2∣nμn⎩⎨⎧​1−1k0​n1np1​p2​p3​pk​p2∣n​其中所有的ppp都是关于nnn的质因数。
基础数论【数的基本性质】
04-24
主要提供给大一学生介绍有关整数的一些代数及算数上的性质。以为将来学习抽象代数做基础。
欧拉函数|(扩展)欧拉定理|欧拉反演
weixin_30784945的博客
06-29 185
也许更好的阅读体验 欧拉函数 欧拉函数是 小于 n的数中与n 互质 的数的 数目 符号\(\varphi(x)\) 互质 两个互质的数的最大公因数等于1,1与任何数互质 通式 \(\varphi(x)=x\prod_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})\) 其中\(p_i\)为\(n\)的质因子 常用性质 若\(n\)为质数，显然\(\varphi(n)=n-1\) \(\be...
欧拉函数性质、证明及求法
umalaka的博客
01-22 1438
定义 欧拉函数φ(n)表示1~n中与n互质的数的个数 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)......;其中p1、p2、p3…为n的质因数，n为正整数 ;比如x=12，其质因数为2,3。在1到12中，有1/2 的数是2的倍数，那么就有(1-1/2)的数不是2的倍数，及1,3,5,7,9,11；在这些数中，有1...
欧拉函数及其性质与证明
give it a try
12-02 2111
欧拉函数: 欧拉函数是求1到n-1中与n互质的数，特殊的 φ(1)=1 欧拉通项(也就是公式): 其中pi是n的质因子。 证明: 由于在1到n中pi (也就是质因子) 的倍数是均匀分布的，那么，去掉这些质因子的倍数(占1/pi)就是x * (1 - 1/pi) 那么同理，其他质因子也按照这个来，就得到了上述公式 求单个欧拉值直接用唯一分解O(sqrt(n))就可以求得欧拉值 模板 cin >> n; ll num = n; for(int i = 2;i *
欧拉反演，欧拉函数
wanglianda2007的博客
03-26 697
详解欧拉反演。
数论与积性函数：线性筛法、欧拉函数与莫比乌斯反演
莫比乌斯反演是一个强大的工具，它建立了两个积性函数之间的关系，通常用于简化数论问题的解决。 资料中还提到，莫比乌斯反演与容斥原理有着紧密联系。通过莫比乌斯反演，我们可以将某些问题转换为求积性函数的和，...
莫比乌斯反演
05-18
**莫比乌斯反演**是一种在数论领域内常用的技巧，主要用于简化某些涉及数论函数的计算问题。它通过一种特定的方式转换问题的形式，从而达到简化计算的目的。下面将详细介绍莫比乌斯反演的基本概念及其应用。 #### ...
莫比乌斯反演公式 Möbius inversion formula
10-16
莫比乌斯反演公式的正确性可以通过Dirichlet卷积的性质来证明。由于Dirichlet卷积具有交换性和结合性，并且满足\(1 * \mu = \varepsilon\)（\(\varepsilon\)是Dirichlet卷积下的单位元），因此有： \[ f * 1 * \mu =...
欧拉函数公式以及证明
02-19
欧拉函数 ： 欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。 完全余数集合： 定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。 有关性质： 对于素数 p ，φ(p) = p -1 。 对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。 这是因为 Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。 欧拉定理 ： 对于互质的正整数 a 和 n ，有 aφ(n) ≡ 1 mod n 。 证明： ( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ， S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n, ... , a * xφ(n) mod n} ， 则 Zn = S 。 ① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a * xi 与 n 互质，所以 a * xi mod n ∈ Zn 。 ② 若 i ≠ j ， 那么 xi ≠ xj，且由 a, n互质可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n （消去律）。
nssl1232-函数【数论,欧拉函数,莫比乌斯反演】
QuantAsk
10-27 426
正题 题目大意 ∑d∣nf(d)=n\sum_{d|n}f(d)=nd∣n∑​f(d)=n 对于n个aia_iai​ 求 ∑i=1nf(ai)\sum_{i=1}^nf(a_i)i=1∑n​f(ai​) 解题思路——莫比乌斯反演 这个方法对于aia_iai​比较大时比较好用，但是事实证明本题过不了。 用莫比乌斯反演可得到此公式 f(n)=∑d∣nμ(d)∗ndf(n)=\sum_{d|n}\m...
第二十六章 数论——欧拉函数（详解与证明）
Turing_Sheep的博客
12-26 3217
详细讲解欧拉函数的证明及使用。
欧拉函数
weixin_34062469的博客
08-24 573
                                     算法总结  一欧拉函数（Euler's totient function）   欧拉函数的定义:     在数论中，对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)。      φ函数的值：     φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3)...
欧拉函数的性质证明(补充)
Harris-H的博客
07-07 287
欧拉函数的性质证明(补充) 本文只证明 φ(n)=n∏i=1k(1−1pi)\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^k(1-\dfrac{1}{p_i})φ(n)=ni=1∏k​(1−pi​1​) 证明需要的东西： 积性函数的性质 算术基本定理 φ(pk)=pk−pk−1=pk−1(p−1)\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)φ(pk)=pk−pk−1=pk−1(p−1) 关于第三个前置知识的证明： 证明 φ(n)=∏i=1kφ(piai)\
欧拉函数的性质及其证明
lifehappy
07-29 869
欧拉函数 ppp是素数，则有ϕ(p)=p−1\phi(p) = p - 1ϕ(p)=p−1 证明：显然。 ppp是素数，n=pkn = p ^ kn=pk，则ϕ(n)=pk−pk−1\phi(n) = p ^ k - p ^ {k - 1}ϕ(n)=pk−pk−1 证明： [1,n][1, n][1,n]内，ppp的约数有p,2p,3p,4p……(pk−1−1)pp, 2p, 3p, 4p……(p^{k - 1} - 1)pp,2p,3p,4p……(pk−1−1)p个，所以ϕ(n)=pk−1−(pk
数论函数（欧拉函数以及莫比乌斯反演）
weixin_34355881的博客
05-28 257
数论菜狗鼓起勇气，学习了莫比乌斯反演之后，——发现自己连菜狗都不是。。。 一些基本的数论函数的定义 \(id(n)=n\) \(1(n)=1\) \(\epsilon(n)=\left\{\begin{array}{rcl}1&n=1\\0&n\neq 1\end{array}\right.\) \(d(n)=\sum_{d|n}1\) \(\sigma(n)=\sum_{d|n...
数论的欧拉定理证明 & 欧拉函数公式
Rappy的专栏-火魂の闇狱
07-23 5067
欧拉函数 ：欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。 完全余数集合：定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。有关性质：对于素数 p ，φ(p) = p -1 。对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p *
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