欧拉函数|(扩展)欧拉定理|欧拉反演

最新推荐文章于 2024-04-03 13:59:25 发布

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本文深入解析欧拉函数的定义、性质及其应用，包括其作为积性函数的特点、欧拉反演的应用，以及如何通过线性筛法高效计算。同时，详细阐述了欧拉定理与扩展欧拉定理的证明过程。

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欧拉函数

欧拉函数是小于 n的数中与n 互质的数的数目
符号\(\varphi(x)\)
互质两个互质的数的最大公因数等于1,1与任何数互质
通式
\(\varphi(x)=x\prod_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})\)
其中\(p_i\)为\(n\)的质因子

常用性质

若\(n\)为质数，显然\(\varphi(n)=n-1\)
\(\begin{aligned}\end{aligned}\)
欧拉函数是积性函数
积性函数: 对于任意互质的整数\(a\)和\(b\)有性质\(f(ab)=f(a)·f(b)\)的数论函数。
若\(m,n\)互质，\(\varphi(mn)=\varphi(m)·\varphi(n)\)
\(\begin{aligned}\end{aligned}\)
如果\(x=2n\)(\(n\)为奇数)，\(\varphi(x)=\varphi(n)\) 即\(\varphi(2n)=\varphi(n)\)(\(n\)为奇数)
n为奇数时,n与2互质，\(\varphi(2)=1\)
\(\begin{aligned}\end{aligned}\)
若\(p\)为质数,则\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)
因为与\(p^k\)不互质的只有\(p\)的倍数，而\(p^k\)中\(p\)的倍数有\(p^{k-1}\)个
\(\begin{aligned}\end{aligned}\)
当\(x>2\)时，\(\varphi(x)\)为偶数
这一点需要了解更相减损术即\(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)\)
由该公式我们可以知道，所有与\(n\)互质的数都是成对出现的
\(\begin{aligned}\end{aligned}\)
小于n的数中，与n互质的数的总和为\(\varphi(n)*n/2\ \ (n>1)\)
由上面的证明(更相减损术)我们知道，每一对与\(n\)互质的数的和为\(n\)，共有\(\varphi(n)/2\)对
\(\begin{aligned}\end{aligned}\)
\(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)即\(n\)的因数\((\)包括\(1\)和它自己\()\)的欧拉函数之和等于\(n\)
这条性质的运用又叫 欧拉反演
定义函数
\(\begin{aligned}f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)\end{aligned}\)
- \(f(n)\)为积性函数
  \(\begin{aligned}f(n)·f(m)=\sum_{i|n}\varphi(i)\sum_{j|m}\varphi(j)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\varphi(i)·\varphi(j)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\varphi(i·j)=\sum_{d|nm}\varphi(d)=f(nm)\end{aligned}\)
\(f(p^k)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\cdots+\varphi(p^k)=1+(p-1)+(p^2-p)+\cdots+(p^k-p^{k-1})=p^k\)

\(n=p_1^{k_1} ·p_2^{k_2}· \cdots·p_m^{k_m}\)

\(f(n)=f(p_1^{k_1})·f(p_2^{k_2})·\cdots·f(p_m^{k_m})=p_1^{k_1} ·p_2^{k_2}· \cdots·p_m^{k_m}=n\)
\(\begin{aligned}\end{aligned}\)

欧拉定理

若\(a,m\)互质，\(a^{\varphi(m)}≡1(mod\ m)\)

证明
- 剩余系 指对于某一个特定的正整数\(n\)，一个整数集中的数\(mod\ n\)所得的余数域。
- 完全剩余系 设\(m\in Z+\)，若\(r_0,r_1,...r_{m−1}\)为\(m\)个整数，并且两两模\(m\)不同余，则\(r_0,r_1,...r_{m−1}\)叫作模\(m\)的一个完全剩余系。
- 缩系设\(A\)是\(mod\ n\)的剩余系，若任意\(A\)中两个元素相乘\(mod\ n\)后仍为\(A\)中的元素,则称\(A\)为\(mod\ n\)的缩系
- 若\(a,m\)互质，则\(m\)的一个缩系为\(\{a,2a,3a...\varphi(m)a\}\)
  \(\varphi(m)! ≡ \prod^{\varphi(m)}_{i=1}a_i(mod\ m)\)
  \(\varphi(m)! ≡ a^{\varphi(m)}·\varphi(m)!(mod\ m)\)
  \(a^{\varphi(m)}≡1(mod\ m)\)
  - 而当\(m\)为质数时，\(\varphi(m)=m-1\)
    \(a^{(m-1)}≡1(mod\ m)\)
    这就是我们熟知的 费马小定理

扩展欧拉定理

若\(b>\varphi(m)\) 即使\(a,m\)不互质，\(a^b≡a^{b \%\varphi(m)+\varphi(m)}\)

证明
从\(m\)中提一个质因子\(p\)出来令\(m=p^k·s\)
有\(gcd(p^k,s)=1\)，即\(p^k,s\)互质
根据欧拉定理，我们知道\(p^k≡p^{\varphi(s)}≡1(mod\ s)\)
根据欧拉函数是积性函数，我们知道\(\varphi(s)|\varphi(m)\)所以有\(p^{\varphi(m)}≡p^{\varphi(s)}(mod\ s)\)
设\(p^{\varphi(s)}=xs+1\)
那么\(p^{\varphi(s)+k}=xm+p^k\)
所以\(p^{\varphi(s)+k}≡p^k (mod\ m)\)，也有\(p^{\varphi(m)+k}≡p^k (mod\ m)\)
当\(b>=k\)时，\(p^b≡p^{b-k}·p^k≡p^{b-k}·p^{\varphi(s)+k}≡p^{b+\varphi(m)}(mod\ m)\)
又因为\(k<=\varphi(p^k)<=\varphi(m)\)，所以当\(b>=2\varphi(m)\)时，满足\(p^b≡p^{b-\varphi(m)}(mod\ m)\)
注意是\(2\varphi(m)\)!
所以可以得到\(p^b≡p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)
因此我们可以得到对任意质数\(p\)都有\(b>=2\varphi(m),p^b≡p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)
非\(m\)质因子的\(p\)，有欧拉定理
将\(a\)因式分解，可以得到
\(a^b≡a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)
- 注意 \(b<\varphi(m)\)时，公式不一定成立

线性筛法

类似与筛素数，我们在这里利用欧拉函数是积性函数这个性质来筛\(\varphi\)
\(\mathcal{Code}\)

int cnt;
int prime[maxn],phi[maxn];
bool vis[maxn];
void Euler_sieve (int n)
int cnt;
int prime[maxn],phi[maxn];
bool vis[maxn];
void Euler_sieve (int n)
{
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i){
        if (!vis[i])    prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j){
            vis[i*prime[j]]=true;
            if (i%prime[j]==0){ phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
}

欧拉反演

利用欧拉函数的一条性质
\(\begin{aligned}n=\sum_{d|n}\varphi(d)\end{aligned}\)
(上面有证明)
我们试着把\(n\)换成其他东西试试
\(\begin{aligned}gcd(i,j)=\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)=\sum_{d|i}\sum_{d|j}\varphi(d)\end{aligned}\)
让我们求个东西试试
\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^ngcd(i,n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\sum_{d|n}\varphi(d)=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(d)\end{aligned}\)
把它重写一遍作为结论
\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^ngcd(i,n)=\sum_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(d)\end{aligned}\)