hdu 4370 从数学就变成了图。。。。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4370

         这题想了半天（真的是半天），觉得是个结论嘛，枚举第一行和第一列一可以放的位置（1，i），（j，n），若他们的列号i等于行号j，那么就只放这两个位置。如果他们不一样，有三种可能。一就是放（i，j）这个位置，二就是放（1，i），（j，n）关于对角线对称的位置，三就是放（i，k）和（k，j）这两个位置（k！= i，k！=j）。T了n久。最终还是以失败告终。其实，在做了两个小时之后，我内心就感觉自己已经放弃了。尽管我还在做。不知道为什么，我不再有那种非要做一件事情的感觉了，甚至我觉得我的所有感觉都在离我而去。我得找回来。

        事实上，这是一题图论。（给跪了吧）

解题的关键在于如何看出这个模型的本质，分别对应着两种情况。

 

3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：

 

1.X12+X13+...X1n=1  于是1号节点的出度为1

 

2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1

 

3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度

A：

于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

 

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路path。

B：

从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。

容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最终答案为min(path,c1+c2)

总结:

       世事还是如此的无常。有什么比现在开心更重要呢？开心了，想问题都快点。当在这个死胡同里面死掉的时候，没想到上帝在另一个地方开了个窗。哎。教训记住了。