Hdu 4370 0 or 1【思维建图+最短路】好题！好题！好题！

最新推荐文章于 2020-10-24 23:36:28 发布

mengxiang000000

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最短路及其拓展

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本文介绍了一个基于矩阵寻路的问题，通过构建特殊的邻接矩阵并利用SPFA算法寻找最优路径，解决了一个复杂的数学问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

0 or 1

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2002 Accepted Submission(s): 603

Problem Description

Given a n*n matrix C_ij (1<=i,j<=n),We want to find a n*n matrix X_ij (1<=i,j<=n),which is 0 or 1.

Besides,X_ij meets the following conditions:

1.X₁₂+X₁₃+...X_1n=1
2.X_1n+X_2n+...X_n-1n=1
3.for each i (1<i<n), satisfies ∑X_ki (1<=k<=n)=∑X_ij (1<=j<=n).

For example, if n=4,we can get the following equality:

X₁₂+X₁₃+X₁₄=1
X₁₄+X₂₄+X₃₄=1
X₁₂+X₂₂+X₃₂+X₄₂=X₂₁+X₂₂+X₂₃+X₂₄
X₁₃+X₂₃+X₃₃+X₄₃=X₃₁+X₃₂+X₃₃+X₃₄

Now ,we want to know the minimum of ∑C_ij*X_ij(1<=i,j<=n) you can get.

Hint

For sample, X₁₂=X₂₄=1,all other X_ij is 0.

Input

The input consists of multiple test cases (less than 35 case).
For each test case ,the first line contains one integer n (1<n<=300).
The next n lines, for each lines, each of which contains n integers, illustrating the matrix C, The j-th integer on i-th line is C_ij(0<=C_ij<=100000).

Output

For each case, output the minimum of ∑C_ij*X_ij you can get.

Sample Input

Sample Output

题目大意：

找到满足一堆一堆的等式的一个矩阵X.求ΣCij*Xij.

思路：

首先根据第一个等式X₁₂+X₁₃+...X_1n=1，说明，第一行除了第一个位子以外，有且只能有一个1.

其次根据第二个等式X_1n+X_2n+...X_n-1n=1，说明，最后一列除了最后一个位子以外，有且只能有一个1.

那么我们通过考虑将第一行除了第一个以外的所有数字都设定称为起点，那么同理，将最后一列除了最后一个以外的所有数字都设定为终点。

那么接下来我们考虑在选择起点之后将对哪些点有影响。

我们此时设定一个超级源点，作为真正的起点，再设定一个超级汇点，作为真正的终点，超级源点连入各个起点，各个终点连入超级终点。

对应将一个图按照1-n*n的顺序编号，比如：

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

此时假设我们跑一条最短路从超级源点，到超级终点，那么假设我们有一条路是从SS--->2，那么此时就相当于假设2作为第一行唯一的那一个1，那么接下来我们有：

2+6+10+14==5+6+7+8.

那么对于此时的假设，我们需要有2-->5||2-->6||2-->7||2-->8的一些连线。对应假设此时跑到了位子8.那么相当于整个一条路径为SS-->2-->8-->TT.结束。那么就是在位子2和位子8都设定上了1.

那么这个矩阵X就是：

0100

0001

0000

对于上述过程进行深度讨论，假设我们从2跑到了5，其是将位子5设定成了1，那么再接下来5还可以跑到10.也可以跑到14.其实再抽象化的一点考虑，对应第二列和第二行，如果我们将其看成一个点的话，那么第二列和第二行的值：a2x，ax2，其实就相当于一个节点的出边和入边的值。

那么问题就相当于求一条最短路，从节点1出发，到节点N.

那么此时的矩阵C就相当于一个具有N个节点的邻接矩阵。

引用网上各种题解的思路：

①根据第一个条件，我们可以知道，节点1的出度为1.

②根据第二个条件，我们可以知道，节点n的入度为1.

③根据第三个条件，我们可以知道，节点2-n-1的入度和出度相等.

④那么此矩阵就是一个邻接矩阵。

是等价的。

那么问题就相当于求一条最短路，从节点1出发，到节点N.

然而就这么结束是不够的。

因为此时强调了节点1的出度，而没有说明节点1的入度。

那么这种矩阵也是可行矩阵：

1100

0011

结果相当于节点1的一个最小环+节点n的一个最小环，以及从1到n的最短路两者取最小值即可。

好题啊！好题啊！好题啊！

Ac代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
int map[500][500];
int dis[500];
int vis[500];
int n;
void SPFA(int ss)
{
    queue<int >s;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(i==ss)
        {
            dis[i]=0x3f3f3f3f;
            vis[i]=0;
        }
        else
        {
            dis[i]=map[ss][i];
            vis[i]=1;
            s.push(i);
        }
    }
    while(!s.empty())
    {
        int u=s.front();
        s.pop();
        vis[u]=0;
        for(int v=0;v<n;v++)
        {
            if(dis[v]>dis[u]+map[u][v])
            {
                dis[v]=dis[u]+map[u][v];
                if(vis[v]==0)
                {
                    vis[v]=1;
                    s.push(v);
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                scanf("%d",&map[i][j]);
            }
        }
        SPFA(0);
        int dis1=dis[0];
        int dis2=dis[n-1];
        SPFA(n-1);
        int dis3=dis[n-1];
        int output=min(dis2,dis1+dis3);
        printf("%d\n",output);
    }
}