ADMM算法求解二次项目标函数+l1正则项问题

ADMM算法求解二次项目标函数+l1正则项问题

问题描述

$$\underset{x}{\min }f(x)+\lambda ||x|{|}_1\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot （1）$$
其中，f(x)为二次项函数，λ＞0，x是$R^n$上的列向量。

分析

由于(1)带l1范数不可导，考虑将(1)转化为以下问题(2)：

$$\begin{gathered} \min f(x)+g(z) \\ x-z=0 \end{gathered}$$
其中，
$$g(z)=\lambda ||z|{|}_1$$
则增广拉格朗日函数为
$$L(x,z,y)=f(x)+g(z)+y^T(x-z)+\frac{n}{2}||x-z|{|}_2^2$$
迭代算法为
$$\begin{gathered} x^{k+1}:=\underset{x}{\mathrm{argmin}}L(x,z^k,y^k) \\ {z}^{k+1}:=\underset{z}{\mathrm{argmin}}L(x^{k+1},z,y^k) \\ {y}^{k+1}:=y^k+n(x^{k+1}-z^{k+1} \end{gathered}$$