AcWing 1083. Windy数（数位dp）

题意：

Windy 数定义：不含前导零 且 相邻两个数字之差至少为 2 的 正整数。

输入两个整数：A 、B

问：在 A 和 B 之间，包括 A 和 B，总共有多少个 Windy 数？

思路：

和前两题的思路一样，我们分别对 A - 1、B 两个数进行数位dp操作，求出 dp(B)（[0, B] 区间内Windy数的数量），dp(A-1)（[0, A-1] 区间内Windy数的数量）。

之后利用前缀和的思想，区间 [A, B] 内Windy数的数量即为：dp(B) - dp(A-1)。

对于一个数 N，我们将其每一位 从高位到低位依次取出放入 num 数组，假设 共有 n 位

假设我们 当前枚举到第 i 位，且 第 i 位上的数字为 x，那么 对于答案中第 i 位数字 j 来说，有两类：

• 1：0 ~ x - 1 (当然，如果第 i 位是最高位，这里应该改成：1 ~ x - 1，因为题目要求没有前导 0)
  我们使用变量 last，只需 记录上一位的数字，然后枚举 j，如果 abs(j - last) >= 2 就 累加答案 res：res += f[i+1][j]。（f[i][j]表示 一共有 i 位，且最高位数字为 j 的 满足windy数定义 的数个数）

• 2：x

• 此时显然不可以随意累加 res（因为我们对其后位数字的情况无法判断），使last = x，之后枚举后面的数位

注意一定要有的步骤：上述做完之后，由于上面的答案都是 n 位的，对于数位个数低于 n 的，再累加到答案 res 中就行

对于f[i][j]的动规分析：

由上方分析过程我们知道我们需要有一种能够直接算出“左分支”答案的方法，考虑使用dp进行f[i][j]的预处理：

• f[i][j]状态表示：f[i][j] 表示 一共有 i 位，且最高位数字为 j 的 满足windy数定义 的数的个数。

• 状态转移： 因为第 i 位是 j 已经确定，考虑第 i-1 位，设第 i-1 位数字为 k，那么根据windy数定义只要满足 abs(k-j) >= 2 就可以进行转移。

• 状态转移方程：

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 15;
typedef vector<int> vi;
#define pb push_back
#define pp pop_back
int f[N][N];

void init()
{
    for(int i=0; i<=9; ++i) f[1][i] = 1;
    for(int i=2; i<N; ++i)
    {
        for(int j=0; j<=9; ++j)
        {
            for(int k=0; k<=9; ++k)
            {
                if(abs(j-k) >= 2) f[i][j] += f[i-1][k];//根据状态转移，满足就加上
            }
        }
    }
}

int dp(int n)
{
    if(!n) return 0;//特判边界 规定 0 不算Windy数，且 0 不在使用区间内
    vi num; while(n) num.pb(n%10), n /= 10;
    int res = 0;//记录答案
    int last = -2;//记录前面某种信息，由于Windy数只和前面相邻数有关，所以last只需记录上一个数即可，由于首位数字可以任意填充，此处只需将last赋值为一个和0~9每个数相比绝对值之差都 >=2的数即可
    
    for(int i=num.size()-1; i>=0; --i)
    {
        int x = num[i];
        for(int j=(i==num.size()-1); j<x; ++j)//枚举左分支
        {
            if(abs(j - last) >= 2) res += f[i+1][j];//从 i 到 0 一共 i+1 位数
        }
        
        if(abs(x - last) < 2) break;//不满足条件，直接break
        
        last = x;//右分支
        if(!i) ++res;
    }
    //<num.size()位的要特殊处理有前导 0 的数
    for(int i=1; i<num.size(); ++i)
    {
        for(int j=1; j<=9; ++j)//i 位数，最高位一定不能为 0，从 1 开始枚举
        {
            res += f[i][j];
        }
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    init();
    int l, r;
    cin>>l>>r;
    cout<<dp(r) - dp(l-1)<<'\n';
    
    return 0;
}