【AcWing算法提高课】1.8数位DP_acwing 数位dp-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_71477690/article/details/126660933

本文介绍了AcWing算法提高课中的数位动态规划（DP）问题，包括度的数量、数字游戏、Windy数等多个题目。讲解了数位DP的解题技巧，如处理区间[l,r]的方法、树形结构的分析，以及如何处理前导零等特殊情况。文章提供了每道题目的核心思路和代码实现，帮助读者理解和掌握数位DP的应用。" 127544276,8357619,MySQL索引优化与关联查询深度解析,"['MySQL', '索引', '分页查询', '嵌套循环连接', 'JOIN优化']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、度的数量

1081.度的数量题目链接

数 $X$ 恰好等于 $K$ 个互不相等的 $B$ 的整数次幂之和即数 $X$ 的 $B$ 进制表示下有 $K$ 位是 $1$ ，其余位均为 $0$ 。

数位DP的技巧：

题目要求区间 $[l, r]$ 中满足性质的数的个数，用 $d p (n)$ 求出区间 $[0, n]$ 中满足性质的数的个数，则答案即为 $d p (r) - d p (l - 1)$
按照树的形式，对区间 $[0, n]$ 中的数从高到低位分解，一层一层处理 (如下图所示)，一般每一层按照填 $0～a_i-1$ 与填 $a_i$ 分成两种情况，前者可以直接预处理求出结果，后者需要继续讨论下一位的选法。注意需要特判最后一层的右子节点是否满足性质。

设数 $n$ 在 $B$ 进制表示下有 $m$ 位，第 $i\ (0\le i<m)$ 位是 $a_i$ (从低到高分别为第 $0$ 位、第 $1$ 位…第 $m - 1$ 位)，对于区间 $[0, n]$ 中的数作以下分析：

当前处理到第 $i$ 位时，且前所有位上共有 $l a s t$ 个 $1$ 时：

$a_i>0$ ，那么这一位可以填 $0$ ，剩下 $i - 1$ 位还能填 $K - l a s t$ 个 $1$ ，其余为 $0$ ，这样的方案数有 $C_{i-1}^{K-last}$
$a_i>1$ ，那么这一位可以填 $1$ ，剩下 $i - 1$ 位还能填 $K - l a s t - 1$ 个 $1$ ，其余为 $0$ ，这样的方案数有 $C_{i-1}^{K-last-1}$ ；此外，由于满足性质的数在 $B$ 进制表示下只会有 $0$ 和 $1$ ，因此这一位不能再填别的数了，直接返回
$a_i=1$ ，还需要对下一位继续讨论， $l a s t + = 1$

上述全部都是叶子节点为左子结点的情况，最后还要特判树的右支是否满足性质。

在这里插入图片描述
对于组合数 $C_n^m$ ，我们可以根据递推公式 $C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$ ，通过两重循环预处理。

代码实现：

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 35;

int K, B;
int f[N][N];

void init(){
     //预处理组合数
    for (int i = 0; i < N; i ++)
        for (int j = 0; j <= i; j ++){
   
            if (!j) f[i