AcWing 1081. 度的数量（数位统计dp）

题意：

题目就是问：在一个区间[x,y]内，有多少个符合题意的数，

“符合题意的数”是指：这个数的B进制表示中，其中有K位是1、其他位全是0。

比如样例中B=2，K=2，这个数是18.就是把18化为二进制，18 化为二进制数为：10010，其中有2位1，其他位都是0.

再比如 B=3，K=2，这个数是17.就是把17化为三进制，17化为三进制为110 ，其中也有2个1，其余都是0.

思路：

这是一道 数位dp 的题目，数位dp的题目的问法一般如下：

• 某个区间内，满足某种性质的数的个数。

对于 数位dp问题 一般有 两个解题方向：

1. ①利用 前缀和 的思想，比如求区间[x, y]中满足条件的数的个数，转化成求[0, y]的个数、[0, x-1]的个数 两者之差
2. ②利用 树的结构 来考虑（其本质即为：按位分类讨论）

该类题目的核心就是根据数位进行分类讨论。

• 第一步，先将数x转化成为B进制，记为N，将转化后的B进制数中的每一位存入一个num数组中。

• 第二步，在num数组中从高位到低位 依次 进行分类讨论，对于第 i 位数字 x 有三种情况（k含义见“题意”，last 表示第 i 位之前的所有位取过的 1 的个数）

• • ① x = 0 ：此时第 i 位只能取 0，不影响 1 的个数，后面所有位（共 i 位，因为下标是从 0 开始的，下同）可以取k-last个1，直接讨论后面 i 位即可。
• • ② x = 1 ：此时可以取 0 或 1，当 第i位取 0 时，后面i位都可以随意取值，可取 k - last 个 1 ，当取 1 的时候，后面i位要在小于题目给定数的前提下取值，还要进行讨论，后面 i 位不能随便取，也就不是组合数（且只能取k - last - 1个1）。
• • ③ x > 1 ：则 i 位上 可以取 1 ，0 ，并且后面 i 位可以随意取k-last-1个1。除了0 、1的其他值不能取，因为其他值对于本题无意义（换句话说就是不符合题意）。

我们可以构造一棵递归搜索树，我们要求的答案 res 即为下图所有圆圈部分之和

另外，组合数递推公式：
，我们将组合数存在数组 c 中，c[i][j]表示 从 i 个数中选出 j 个数的组合数。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 35;

int K, B;
int c[N][N];

void init()//求组合数
{
    for(int i=0; i<=N; ++i)
    {
        for(int j=0; j<=i; ++j)
        {
            if(!j) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
        }
    }
}


int dp(int n)
{ 
    if (!n) return 0;//如果 n==0，那么就直接返回 0（特判）
    vector<int> num;
    while (n) num.push_back(n%B), n /= B;
    int res = 0;
    int last = 0;//表示已经取了多少个 1

    for(int i=num.size()-1; i>=0; --i)//从最高位到最低位对每一位数讨论
    {
        int x = num[i];
        if(x) //求左分支中数的个数
        {
            res += c[i][K-last];//加上第 i 位取 0 的时候的组合数，也就是对于后面 i 位取 k-last 个 1 的数量
            if(x > 1)//如果 x>1，就可以直接用组合数表示出来，不用进行讨论，也就是 i 位取 1 的时候，后面 i 位随便取 k-last-1 个 1
            {
                if(K - last - 1 >= 0) res += c[i][K-last-1];
                break;
            }
            else//如果 x==1，那么 i 位取 1 的时候，还要进行讨论，后面 i 位不能随便取，也就不是组合数
            {
                ++last;
                if(last > K) break;
            }
        }
        if (!i && last==K) ++res;// 最右侧分支上的方案，即对于最后一位进行的特殊考虑
    }
    return res;
}

int main()
{
    init();

    int l, r;
    cin>>l>>r>>K>>B;

    cout<<dp(r) - dp(l-1)<<'\n';

    return 0;
}